{l}{3m+4n=7}{4m-3n-1=0} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 m + 4 n = 7 } \\ { 4 m - 3 n - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

m, n мәнін табыңыз

$$m=1$$

$$n=1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және m мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы m мәнін шешіңіз.

$$3m+4n=7$$

Теңдеудің екі жағынан 4n санын алып тастаңыз.

$$3m=-4n+7$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$m=\frac{1}{3}\left(-4n+7\right)$$

\frac{1}{3} санын -4n+7 санына көбейтіңіз.

$$m=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-4n+7}{3} мәнін m мәнімен ауыстырыңыз, 4m-3n-1=0.

$$4\left(-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}\right)-3n-1=0$$

4 санын \frac{-4n+7}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{16}{3}n+\frac{28}{3}-3n-1=0$$

-\frac{16n}{3} санын -3n санына қосу.

$$-\frac{25}{3}n+\frac{28}{3}-1=0$$

\frac{28}{3} санын -1 санына қосу.

$$-\frac{25}{3}n+\frac{25}{3}=0$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{25}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{25}{3}n=-\frac{25}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{25}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$n=1$$

m=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3} теңдеуінде 1 мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, m мәнін тікелей таба аласыз.

$$m=\frac{-4+7}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{7}{3} бөлшегіне -\frac{4}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$m=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=1,n=1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}&-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}&\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 7+\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}\times 7-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

m және n матрица элементтерін шығарыңыз.

$$m=1,n=1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

3m және 4m мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$4\times 3m+4\times 4n=4\times 7,3\times 4m+3\left(-3\right)n+3\left(-1\right)=0$$

Қысқартыңыз.

$$12m+16n=28,12m-9n-3=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 12m-9n-3=0 мәнін 12m+16n=28 мәнінен алып тастаңыз.

$$12m-12m+16n+9n+3=28$$

12m санын -12m санына қосу. 12m және -12m мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$16n+9n+3=28$$

16n санын 9n санына қосу.

$$25n+3=28$$

Теңдеудің екі жағынан 3 санын алып тастаңыз.

$$25n=25$$

Екі жағын да 25 санына бөліңіз.

$$n=1$$

4m-3n-1=0 теңдеуінде 1 мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, m мәнін тікелей таба аласыз.

$$4m-3-1=0$$

-3 санын -1 санына қосу.

$$4m-4=0$$

Теңдеудің екі жағына да 4 санын қосыңыз.

$$4m=4$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$m=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=1,n=1$$