{l}{3a+7b=44}{-5a+6b=15} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 7 b = 44 } \\ { - 5 a + 6 b = 15 } \end{array} \right.$$

a, b мәнін табыңыз

$$a=3$$

$$b=5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3a+7b=44,-5a+6b=15$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және a мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы a мәнін шешіңіз.

$$3a+7b=44$$

Теңдеудің екі жағынан 7b санын алып тастаңыз.

$$3a=-7b+44$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$a=\frac{1}{3}\left(-7b+44\right)$$

\frac{1}{3} санын -7b+44 санына көбейтіңіз.

$$a=-\frac{7}{3}b+\frac{44}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-7b+44}{3} мәнін a мәнімен ауыстырыңыз, -5a+6b=15.

$$-5\left(-\frac{7}{3}b+\frac{44}{3}\right)+6b=15$$

-5 санын \frac{-7b+44}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{35}{3}b-\frac{220}{3}+6b=15$$

\frac{35b}{3} санын 6b санына қосу.

$$\frac{53}{3}b-\frac{220}{3}=15$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{220}{3} санын қосыңыз.

$$\frac{53}{3}b=\frac{265}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{53}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$b=5$$

a=-\frac{7}{3}b+\frac{44}{3} теңдеуінде 5 мәнін b мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$a=-\frac{7}{3}\times 5+\frac{44}{3}$$

-\frac{7}{3} санын 5 санына көбейтіңіз.

$$a=\frac{-35+44}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{44}{3} бөлшегіне -\frac{35}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$a=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=3,b=5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3a+7b=44,-5a+6b=15$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-7\left(-5\right)}&-\frac{7}{3\times 6-7\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3\times 6-7\left(-5\right)}&\frac{3}{3\times 6-7\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{53}&-\frac{7}{53}\\\frac{5}{53}&\frac{3}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{53}\times 44-\frac{7}{53}\times 15\\\frac{5}{53}\times 44+\frac{3}{53}\times 15\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

a және b матрица элементтерін шығарыңыз.

$$a=3,b=5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3a+7b=44,-5a+6b=15$$

3a және -5a мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$-5\times 3a-5\times 7b=-5\times 44,3\left(-5\right)a+3\times 6b=3\times 15$$

Қысқартыңыз.

$$-15a-35b=-220,-15a+18b=45$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -15a+18b=45 мәнін -15a-35b=-220 мәнінен алып тастаңыз.

$$-15a+15a-35b-18b=-220-45$$

-15a санын 15a санына қосу. -15a және 15a мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-35b-18b=-220-45$$

-35b санын -18b санына қосу.

$$-53b=-220-45$$

-220 санын -45 санына қосу.

$$-53b=-265$$

Екі жағын да -53 санына бөліңіз.

$$b=5$$

-5a+6b=15 теңдеуінде 5 мәнін b мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$-5a+6\times 5=15$$

6 санын 5 санына көбейтіңіз.

$$-5a+30=15$$

Теңдеудің екі жағынан 30 санын алып тастаңыз.

$$-5a=-15$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$a=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=3,b=5$$