{l}{3a+14b=4}{13a+19b=13} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 14 b = 4 } \\ { 13 a + 19 b = 13 } \end{array} \right.$$

a, b мәнін табыңыз

$$a=\frac{106}{125}=0.848$$

$$b=\frac{13}{125}=0.104$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және a мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы a мәнін шешіңіз.

$$3a+14b=4$$

Теңдеудің екі жағынан 14b санын алып тастаңыз.

$$3a=-14b+4$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$a=\frac{1}{3}\left(-14b+4\right)$$

\frac{1}{3} санын -14b+4 санына көбейтіңіз.

$$a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-14b+4}{3} мәнін a мәнімен ауыстырыңыз, 13a+19b=13.

$$13\left(-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}\right)+19b=13$$

13 санын \frac{-14b+4}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{182}{3}b+\frac{52}{3}+19b=13$$

-\frac{182b}{3} санын 19b санына қосу.

$$-\frac{125}{3}b+\frac{52}{3}=13$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{52}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{125}{3}b=-\frac{13}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{125}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$b=\frac{13}{125}$$

a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3} теңдеуінде \frac{13}{125} мәнін b мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$a=-\frac{14}{3}\times \frac{13}{125}+\frac{4}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{13}{125} санын -\frac{14}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$a=-\frac{182}{375}+\frac{4}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{4}{3} бөлшегіне -\frac{182}{375} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$a=\frac{106}{125}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3\times 19-14\times 13}&-\frac{14}{3\times 19-14\times 13}\\-\frac{13}{3\times 19-14\times 13}&\frac{3}{3\times 19-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}&\frac{14}{125}\\\frac{13}{125}&-\frac{3}{125}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}\times 4+\frac{14}{125}\times 13\\\frac{13}{125}\times 4-\frac{3}{125}\times 13\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{106}{125}\\\frac{13}{125}\end{matrix}\right)$$

a және b матрица элементтерін шығарыңыз.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

3a және 13a мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 13 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$13\times 3a+13\times 14b=13\times 4,3\times 13a+3\times 19b=3\times 13$$

Қысқартыңыз.

$$39a+182b=52,39a+57b=39$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 39a+57b=39 мәнін 39a+182b=52 мәнінен алып тастаңыз.

$$39a-39a+182b-57b=52-39$$

39a санын -39a санына қосу. 39a және -39a мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$182b-57b=52-39$$

182b санын -57b санына қосу.

$$125b=52-39$$

52 санын -39 санына қосу.

$$125b=13$$

Екі жағын да 125 санына бөліңіз.

$$b=\frac{13}{125}$$

13a+19b=13 теңдеуінде \frac{13}{125} мәнін b мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$13a+19\times \frac{13}{125}=13$$

19 санын \frac{13}{125} санына көбейтіңіз.

$$13a+\frac{247}{125}=13$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{247}{125} санын алып тастаңыз.

$$13a=\frac{1378}{125}$$

Екі жағын да 13 санына бөліңіз.

$$a=\frac{106}{125}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$