{l}{3(2x+1)-5(y-3)=1}{5(1-x)-4(2y+1)=3} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 2 x + 1 ) - 5 ( y - 3 ) = 1 } \\ { 5 ( 1 - x ) - 4 ( 2 y + 1 ) = 3 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-2$$

$$y=1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

3 санын 2x+1 санына көбейтіңіз.

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

-5 санын y-3 санына көбейтіңіз.

$$6x+3-5y+15=1$$

3 санын 15 санына қосу.

$$6x-5y+18=1$$

Теңдеудің екі жағынан 18 санын алып тастаңыз.

$$6x-5y=-17$$

Теңдеудің екі жағына да 5y санын қосыңыз.

$$6x=5y-17$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y-17\right)$$

\frac{1}{6} санын 5y-17 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}$$

Басқа теңдеуде \frac{5y-17}{6} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3.

$$5\left(-\left(\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}\right)+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

-1 санын \frac{5y-17}{6} санына көбейтіңіз.

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{17}{6}+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

\frac{17}{6} санын 1 санына қосу.

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

5 санын \frac{-5y+23}{6} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-4\left(2y+1\right)=3$$

-4 санын 2y+1 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-8y-4=3$$

-\frac{25y}{6} санын -8y санына қосу.

$$-\frac{73}{6}y+\frac{115}{6}-4=3$$

\frac{115}{6} санын -4 санына қосу.

$$-\frac{73}{6}y+\frac{91}{6}=3$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{91}{6} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{73}{6}y=-\frac{73}{6}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{73}{6} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=1$$

x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6} теңдеуінде 1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{5-17}{6}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{17}{6} бөлшегіне \frac{5}{6} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-2,y=1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Бірінші теңдеуді стандартты формулаға келтіру үшін оңайлатыңыз.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

3 санын 2x+1 санына көбейтіңіз.

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

-5 санын y-3 санына көбейтіңіз.

$$6x+3-5y+15=1$$

3 санын 15 санына қосу.

$$6x-5y+18=1$$

Теңдеудің екі жағынан 18 санын алып тастаңыз.

$$6x-5y=-17$$

Екінші теңдеуді стандартты формулаға келтіру үшін оңайлатыңыз.

$$5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

5 санын -x+1 санына көбейтіңіз.

$$-5x+5-4\left(2y+1\right)=3$$

-4 санын 2y+1 санына көбейтіңіз.

$$-5x+5-8y-4=3$$

5 санын -4 санына қосу.

$$-5x-8y+1=3$$

Теңдеудің екі жағынан 1 санын алып тастаңыз.

$$-5x-8y=2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}&-\frac{5}{73}\\-\frac{5}{73}&-\frac{6}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}\left(-17\right)-\frac{5}{73}\times 2\\-\frac{5}{73}\left(-17\right)-\frac{6}{73}\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-2,y=1$$