{l}{25x+35y=16500}{x+y=500} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 35 y = 16500 } \\ { x + y = 500 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=100$$

$$y=400$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$25x+35y=16500$$

Теңдеудің екі жағынан 35y санын алып тастаңыз.

$$25x=-35y+16500$$

Екі жағын да 25 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{25}\left(-35y+16500\right)$$

\frac{1}{25} санын -35y+16500 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{7}{5}y+660$$

Басқа теңдеуде -\frac{7y}{5}+660 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+y=500.

$$-\frac{7}{5}y+660+y=500$$

-\frac{7y}{5} санын y санына қосу.

$$-\frac{2}{5}y+660=500$$

Теңдеудің екі жағынан 660 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{2}{5}y=-160$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{2}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=400$$

x=-\frac{7}{5}y+660 теңдеуінде 400 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{7}{5}\times 400+660$$

-\frac{7}{5} санын 400 санына көбейтіңіз.

$$x=-560+660$$

660 санын -560 санына қосу.

$$x=100$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=100,y=400$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-35}&-\frac{35}{25-35}\\-\frac{1}{25-35}&\frac{25}{25-35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{10}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 16500+\frac{7}{2}\times 500\\\frac{1}{10}\times 16500-\frac{5}{2}\times 500\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\400\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=100,y=400$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

25x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 25 санына көбейтіңіз.

$$25x+35y=16500,25x+25y=25\times 500$$

Қысқартыңыз.

$$25x+35y=16500,25x+25y=12500$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 25x+25y=12500 мәнін 25x+35y=16500 мәнінен алып тастаңыз.

$$25x-25x+35y-25y=16500-12500$$

25x санын -25x санына қосу. 25x және -25x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$35y-25y=16500-12500$$

35y санын -25y санына қосу.

$$10y=16500-12500$$

16500 санын -12500 санына қосу.

$$10y=4000$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$y=400$$

x+y=500 теңдеуінде 400 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+400=500$$

Теңдеудің екі жағынан 400 санын алып тастаңыз.

$$x=100$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=100,y=400$$