{l}{25+5p+q=0}{9-3p+q=0} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 + 5 p + q = 0 } \\ { 9 - 3 p + q = 0 } \end{array} \right.$$

p, q мәнін табыңыз

$$p=-2$$

$$q=-15$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5p+q+25=0,-3p+q+9=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және p мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы p мәнін шешіңіз.

$$5p+q+25=0$$

Теңдеудің екі жағынан 25 санын алып тастаңыз.

$$5p+q=-25$$

Теңдеудің екі жағынан q санын алып тастаңыз.

$$5p=-q-25$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$p=\frac{1}{5}\left(-q-25\right)$$

\frac{1}{5} санын -q-25 санына көбейтіңіз.

$$p=-\frac{1}{5}q-5$$

Басқа теңдеуде -\frac{q}{5}-5 мәнін p мәнімен ауыстырыңыз, -3p+q+9=0.

$$-3\left(-\frac{1}{5}q-5\right)+q+9=0$$

-3 санын -\frac{q}{5}-5 санына көбейтіңіз.

$$\frac{3}{5}q+15+q+9=0$$

\frac{3q}{5} санын q санына қосу.

$$\frac{8}{5}q+15+9=0$$

15 санын 9 санына қосу.

$$\frac{8}{5}q+24=0$$

Теңдеудің екі жағынан 24 санын алып тастаңыз.

$$\frac{8}{5}q=-24$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{8}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$q=-15$$

p=-\frac{1}{5}q-5 теңдеуінде -15 мәнін q мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, p мәнін тікелей таба аласыз.

$$p=-\frac{1}{5}\left(-15\right)-5$$

-\frac{1}{5} санын -15 санына көбейтіңіз.

$$p=3-5$$

-5 санын 3 санына қосу.

$$p=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$p=-2,q=-15$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5p+q+25=0,-3p+q+9=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\-9\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&1\\-3&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-9\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-9\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-3\right)}&-\frac{1}{5-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5-\left(-3\right)}&\frac{5}{5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-25\right)-\frac{1}{8}\left(-9\right)\\\frac{3}{8}\left(-25\right)+\frac{5}{8}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

p және q матрица элементтерін шығарыңыз.

$$p=-2,q=-15$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5p+q+25=0,-3p+q+9=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -3p+q+9=0 мәнін 5p+q+25=0 мәнінен алып тастаңыз.

$$5p+3p+q-q+25-9=0$$

q санын -q санына қосу. q және -q мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$5p+3p+25-9=0$$

5p санын 3p санына қосу.

$$8p+25-9=0$$

25 санын -9 санына қосу.

$$8p+16=0$$

Теңдеудің екі жағынан 16 санын алып тастаңыз.

$$8p=-16$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$p=-2$$

-3p+q+9=0 теңдеуінде -2 мәнін p мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, q мәнін тікелей таба аласыз.

$$-3\left(-2\right)+q+9=0$$

-3 санын -2 санына көбейтіңіз.

$$6+q+9=0$$

6 санын 9 санына қосу.

$$q+15=0$$

Теңдеудің екі жағынан 15 санын алып тастаңыз.

$$q=-15$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$p=-2,q=-15$$