{l}{20+x+y=115}{11x=8y} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 + x + y = 115 } \\ { 11 x = 8 y } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=40$$

$$y=55$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 20 мәнін қысқартыңыз.

$$x+y=115-20$$

95 мәнін алу үшін, 115 мәнінен 20 мәнін алып тастаңыз.

$$x+y=95$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 8y мәнін қысқартыңыз.

$$11x-8y=0$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+y=95$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$x=-y+95$$

Басқа теңдеуде -y+95 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 11x-8y=0.

$$11\left(-y+95\right)-8y=0$$

11 санын -y+95 санына көбейтіңіз.

$$-11y+1045-8y=0$$

-11y санын -8y санына қосу.

$$-19y+1045=0$$

Теңдеудің екі жағынан 1045 санын алып тастаңыз.

$$-19y=-1045$$

Екі жағын да -19 санына бөліңіз.

$$y=55$$

x=-y+95 теңдеуінде 55 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-55+95$$

95 санын -55 санына қосу.

$$x=40$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=40,y=55$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 20 мәнін қысқартыңыз.

$$x+y=115-20$$

95 мәнін алу үшін, 115 мәнінен 20 мәнін алып тастаңыз.

$$x+y=95$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 8y мәнін қысқартыңыз.

$$11x-8y=0$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-11}&-\frac{1}{-8-11}\\-\frac{11}{-8-11}&\frac{1}{-8-11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{11}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\times 95\\\frac{11}{19}\times 95\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\55\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=40,y=55$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 20 мәнін қысқартыңыз.

$$x+y=115-20$$

95 мәнін алу үшін, 115 мәнінен 20 мәнін алып тастаңыз.

$$x+y=95$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 8y мәнін қысқартыңыз.

$$11x-8y=0$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

x және 11x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 11 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$11x+11y=11\times 95,11x-8y=0$$

Қысқартыңыз.

$$11x+11y=1045,11x-8y=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 11x-8y=0 мәнін 11x+11y=1045 мәнінен алып тастаңыз.

$$11x-11x+11y+8y=1045$$

11x санын -11x санына қосу. 11x және -11x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$11y+8y=1045$$

11y санын 8y санына қосу.

$$19y=1045$$

Екі жағын да 19 санына бөліңіз.

$$y=55$$

11x-8y=0 теңдеуінде 55 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$11x-8\times 55=0$$

-8 санын 55 санына көбейтіңіз.

$$11x-440=0$$

Теңдеудің екі жағына да 440 санын қосыңыз.

$$11x=440$$

Екі жағын да 11 санына бөліңіз.

$$x=40$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=40,y=55$$