{l}{2.5x+12.5y=9750}{13x-13y=9750} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2.5 x + 12.5 y = 9750 } \\ { 13 x - 13 y = 9750 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1275$$

$$y=525$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2.5x+12.5y=9750,13x-13y=9750$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2.5x+12.5y=9750$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{25y}{2} санын алып тастаңыз.

$$2.5x=-12.5y+9750$$

Теңдеудің екі жағын да 2.5 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=0.4\left(-12.5y+9750\right)$$

0.4 санын -\frac{25y}{2}+9750 санына көбейтіңіз.

$$x=-5y+3900$$

Басқа теңдеуде -5y+3900 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 13x-13y=9750.

$$13\left(-5y+3900\right)-13y=9750$$

13 санын -5y+3900 санына көбейтіңіз.

$$-65y+50700-13y=9750$$

-65y санын -13y санына қосу.

$$-78y+50700=9750$$

Теңдеудің екі жағынан 50700 санын алып тастаңыз.

$$-78y=-40950$$

Екі жағын да -78 санына бөліңіз.

$$y=525$$

x=-5y+3900 теңдеуінде 525 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-5\times 525+3900$$

-5 санын 525 санына көбейтіңіз.

$$x=-2625+3900$$

3900 санын -2625 санына қосу.

$$x=1275$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1275,y=525$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2.5x+12.5y=9750,13x-13y=9750$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2.5&12.5\\13&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9750\\9750\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2.5&12.5\\13&-13\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.5&12.5\\13&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.5&12.5\\13&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&12.5\\13&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9750\\9750\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&12.5\\13&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9750\\9750\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&12.5\\13&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9750\\9750\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{2.5\left(-13\right)-12.5\times 13}&-\frac{12.5}{2.5\left(-13\right)-12.5\times 13}\\-\frac{13}{2.5\left(-13\right)-12.5\times 13}&\frac{2.5}{2.5\left(-13\right)-12.5\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9750\\9750\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{5}{78}\\\frac{1}{15}&-\frac{1}{78}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9750\\9750\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 9750+\frac{5}{78}\times 9750\\\frac{1}{15}\times 9750-\frac{1}{78}\times 9750\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1275\\525\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=1275,y=525$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2.5x+12.5y=9750,13x-13y=9750$$

\frac{5x}{2} және 13x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 13 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2.5 санына көбейтіңіз.

$$13\times 2.5x+13\times 12.5y=13\times 9750,2.5\times 13x+2.5\left(-13\right)y=2.5\times 9750$$

Қысқартыңыз.

$$32.5x+162.5y=126750,32.5x-32.5y=24375$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 32.5x-32.5y=24375 мәнін 32.5x+162.5y=126750 мәнінен алып тастаңыз.

$$32.5x-32.5x+162.5y+32.5y=126750-24375$$

\frac{65x}{2} санын -\frac{65x}{2} санына қосу. \frac{65x}{2} және -\frac{65x}{2} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$162.5y+32.5y=126750-24375$$

\frac{325y}{2} санын \frac{65y}{2} санына қосу.

$$195y=126750-24375$$

126750 санын -24375 санына қосу.

$$195y=102375$$

Екі жағын да 195 санына бөліңіз.

$$y=525$$

13x-13y=9750 теңдеуінде 525 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$13x-13\times 525=9750$$

-13 санын 525 санына көбейтіңіз.

$$13x-6825=9750$$

Теңдеудің екі жағына да 6825 санын қосыңыз.

$$13x=16575$$

Екі жағын да 13 санына бөліңіз.

$$x=1275$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1275,y=525$$