{l}{2y=3x-6}{5x+4y=8} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 y = 3 x - 6 } \\ { 5 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x = \frac{20}{11} = 1\frac{9}{11} \approx 1.818181818$$

$$y=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 3x мәнін қысқартыңыз.

$$2y-3x=-6$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$2y-3x=-6$$

Теңдеудің екі жағына да 3x санын қосыңыз.

$$2y=3x-6$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

\frac{1}{2} санын -6+3x санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

Басқа теңдеуде \frac{3x}{2}-3 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, 4y+5x=8.

$$4\left(\frac{3}{2}x-3\right)+5x=8$$

4 санын \frac{3x}{2}-3 санына көбейтіңіз.

$$6x-12+5x=8$$

6x санын 5x санына қосу.

$$11x-12=8$$

Теңдеудің екі жағына да 12 санын қосыңыз.

$$11x=20$$

Екі жағын да 11 санына бөліңіз.

$$x=\frac{20}{11}$$

y=\frac{3}{2}x-3 теңдеуінде \frac{20}{11} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=\frac{3}{2}\times \frac{20}{11}-3$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{20}{11} санын \frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y=\frac{30}{11}-3$$

-3 санын \frac{30}{11} санына қосу.

$$y=-\frac{3}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 3x мәнін қысқартыңыз.

$$2y-3x=-6$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}\left(-6\right)+\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{2}{11}\left(-6\right)+\frac{1}{11}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\\\frac{20}{11}\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 3x мәнін қысқартыңыз.

$$2y-3x=-6$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

2y және 4y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$4\times 2y+4\left(-3\right)x=4\left(-6\right),2\times 4y+2\times 5x=2\times 8$$

Қысқартыңыз.

$$8y-12x=-24,8y+10x=16$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 8y+10x=16 мәнін 8y-12x=-24 мәнінен алып тастаңыз.

$$8y-8y-12x-10x=-24-16$$

8y санын -8y санына қосу. 8y және -8y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-12x-10x=-24-16$$

-12x санын -10x санына қосу.

$$-22x=-24-16$$

-24 санын -16 санына қосу.

$$-22x=-40$$

Екі жағын да -22 санына бөліңіз.

$$x=\frac{20}{11}$$

4y+5x=8 теңдеуінде \frac{20}{11} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$4y+5\times \frac{20}{11}=8$$

5 санын \frac{20}{11} санына көбейтіңіз.

$$4y+\frac{100}{11}=8$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{100}{11} санын алып тастаңыз.

$$4y=-\frac{12}{11}$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{3}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$