{l}{2y+7z=-6}{10y-7z=26} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 y + 7 z = - 6 } \\ { 10 y - 7 z = 26 } \end{array} \right.$$

y, z мәнін табыңыз

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$z = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2y+7z=-6,10y-7z=26$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$2y+7z=-6$$

Теңдеудің екі жағынан 7z санын алып тастаңыз.

$$2y=-7z-6$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{2}\left(-7z-6\right)$$

\frac{1}{2} санын -7z-6 санына көбейтіңіз.

$$y=-\frac{7}{2}z-3$$

Басқа теңдеуде -\frac{7z}{2}-3 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, 10y-7z=26.

$$10\left(-\frac{7}{2}z-3\right)-7z=26$$

10 санын -\frac{7z}{2}-3 санына көбейтіңіз.

$$-35z-30-7z=26$$

-35z санын -7z санына қосу.

$$-42z-30=26$$

Теңдеудің екі жағына да 30 санын қосыңыз.

$$-42z=56$$

Екі жағын да -42 санына бөліңіз.

$$z=-\frac{4}{3}$$

y=-\frac{7}{2}z-3 теңдеуінде -\frac{4}{3} мәнін z мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=-\frac{7}{2}\left(-\frac{4}{3}\right)-3$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{4}{3} санын -\frac{7}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y=\frac{14}{3}-3$$

-3 санын \frac{14}{3} санына қосу.

$$y=\frac{5}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=\frac{5}{3},z=-\frac{4}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2y+7z=-6,10y-7z=26$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\26\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&7\\10&-7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\26\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\26\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\26\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-7\times 10}&-\frac{7}{2\left(-7\right)-7\times 10}\\-\frac{10}{2\left(-7\right)-7\times 10}&\frac{2}{2\left(-7\right)-7\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\26\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{5}{42}&-\frac{1}{42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\26\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\left(-6\right)+\frac{1}{12}\times 26\\\frac{5}{42}\left(-6\right)-\frac{1}{42}\times 26\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

y және z матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=\frac{5}{3},z=-\frac{4}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2y+7z=-6,10y-7z=26$$

2y және 10y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 10 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$10\times 2y+10\times 7z=10\left(-6\right),2\times 10y+2\left(-7\right)z=2\times 26$$

Қысқартыңыз.

$$20y+70z=-60,20y-14z=52$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 20y-14z=52 мәнін 20y+70z=-60 мәнінен алып тастаңыз.

$$20y-20y+70z+14z=-60-52$$

20y санын -20y санына қосу. 20y және -20y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$70z+14z=-60-52$$

70z санын 14z санына қосу.

$$84z=-60-52$$

-60 санын -52 санына қосу.

$$84z=-112$$

Екі жағын да 84 санына бөліңіз.

$$z=-\frac{4}{3}$$

10y-7z=26 теңдеуінде -\frac{4}{3} мәнін z мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$10y-7\left(-\frac{4}{3}\right)=26$$

-7 санын -\frac{4}{3} санына көбейтіңіз.

$$10y+\frac{28}{3}=26$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{28}{3} санын алып тастаңыз.

$$10y=\frac{50}{3}$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$y=\frac{5}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=\frac{5}{3},z=-\frac{4}{3}$$