{l}{2x-y=5}{-x=30-3y} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { - x = 30 - 3 y } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=9$$

$$y=13$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 3y қосу.

$$-x+3y=30$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x-y=5$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$2x=y+5$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

\frac{1}{2} санын y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{5+y}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -x+3y=30.

$$-\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+3y=30$$

-1 санын \frac{5+y}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}+3y=30$$

-\frac{y}{2} санын 3y санына қосу.

$$\frac{5}{2}y-\frac{5}{2}=30$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{5}{2} санын қосыңыз.

$$\frac{5}{2}y=\frac{65}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{5}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=13$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2} теңдеуінде 13 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{2}\times 13+\frac{5}{2}$$

\frac{1}{2} санын 13 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{13+5}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{2} бөлшегіне \frac{13}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=9$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=9,y=13$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 3y қосу.

$$-x+3y=30$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 30\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 30\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=9,y=13$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 3y қосу.

$$-x+3y=30$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

2x және -x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$-2x-\left(-y\right)=-5,2\left(-1\right)x+2\times 3y=2\times 30$$

Қысқартыңыз.

$$-2x+y=-5,-2x+6y=60$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -2x+6y=60 мәнін -2x+y=-5 мәнінен алып тастаңыз.

$$-2x+2x+y-6y=-5-60$$

-2x санын 2x санына қосу. -2x және 2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$y-6y=-5-60$$

y санын -6y санына қосу.

$$-5y=-5-60$$

-5 санын -60 санына қосу.

$$-5y=-65$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$y=13$$

-x+3y=30 теңдеуінде 13 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-x+3\times 13=30$$

3 санын 13 санына көбейтіңіз.

$$-x+39=30$$

Теңдеудің екі жағынан 39 санын алып тастаңыз.

$$-x=-9$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$x=9$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=9,y=13$$