{l}{2x-y=4x-3}{2(x+y)=1} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 x - 3 } \\ { 2 ( x + y ) = 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=-2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4x мәнін қысқартыңыз.

$$2x-y-4x=-3$$

2x және -4x мәндерін қоссаңыз, -2x мәні шығады.

$$-2x-y=-3$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-2x-y=-3$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$-2x=y-3$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

-\frac{1}{2} санын y-3 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+3}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+y=\frac{1}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=\frac{1}{2}$$

-\frac{y}{2} санын y санына қосу.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{3}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{2}y=-1$$

Екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$y=-2$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}$$

-\frac{1}{2} санын -2 санына көбейтіңіз.

$$x=1+\frac{3}{2}$$

\frac{3}{2} санын 1 санына қосу.

$$x=\frac{5}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4x мәнін қысқартыңыз.

$$2x-y-4x=-3$$

2x және -4x мәндерін қоссаңыз, -2x мәні шығады.

$$-2x-y=-3$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)-\frac{1}{2}\\-3+2\times \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4x мәнін қысқартыңыз.

$$2x-y-4x=-3$$

2x және -4x мәндерін қоссаңыз, -2x мәні шығады.

$$-2x-y=-3$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

-2x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына көбейтіңіз.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-2\times \frac{1}{2}$$

Қысқартыңыз.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-1$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -2x-2y=-1 мәнін -2x-y=-3 мәнінен алып тастаңыз.

$$-2x+2x-y+2y=-3+1$$

-2x санын 2x санына қосу. -2x және 2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-y+2y=-3+1$$

-y санын 2y санына қосу.

$$y=-3+1$$

-3 санын 1 санына қосу.

$$y=-2$$

x+y=\frac{1}{2} теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x-2=\frac{1}{2}$$

Теңдеудің екі жағына да 2 санын қосыңыз.

$$x=\frac{5}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$