{l}{2x-y=4}{3x-5y=15} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 } \\ { 3 x - 5 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{5}{7}\approx 0.714285714$$

$$y = -\frac{18}{7} = -2\frac{4}{7} \approx -2.571428571$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x-y=4,3x-5y=15$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x-y=4$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$2x=y+4$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

\frac{1}{2} санын y+4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Басқа теңдеуде \frac{y}{2}+2 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x-5y=15.

$$3\left(\frac{1}{2}y+2\right)-5y=15$$

3 санын \frac{y}{2}+2 санына көбейтіңіз.

$$\frac{3}{2}y+6-5y=15$$

\frac{3y}{2} санын -5y санына қосу.

$$-\frac{7}{2}y+6=15$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{7}{2}y=9$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{7}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{18}{7}$$

x=\frac{1}{2}y+2 теңдеуінде -\frac{18}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{18}{7}\right)+2$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{18}{7} санын \frac{1}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{9}{7}+2$$

2 санын -\frac{9}{7} санына қосу.

$$x=\frac{5}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{7},y=-\frac{18}{7}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x-y=4,3x-5y=15$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 4-\frac{1}{7}\times 15\\\frac{3}{7}\times 4-\frac{2}{7}\times 15\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\\-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{5}{7},y=-\frac{18}{7}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x-y=4,3x-5y=15$$

2x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 4,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times 15$$

Қысқартыңыз.

$$6x-3y=12,6x-10y=30$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x-10y=30 мәнін 6x-3y=12 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x-3y+10y=12-30$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-3y+10y=12-30$$

-3y санын 10y санына қосу.

$$7y=12-30$$

12 санын -30 санына қосу.

$$7y=-18$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{18}{7}$$

3x-5y=15 теңдеуінде -\frac{18}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x-5\left(-\frac{18}{7}\right)=15$$

-5 санын -\frac{18}{7} санына көбейтіңіз.

$$3x+\frac{90}{7}=15$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{90}{7} санын алып тастаңыз.

$$3x=\frac{15}{7}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{5}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{7},y=-\frac{18}{7}$$