{l}{2x-y=2}{3x=2(5-y)} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 2 } \\ { 3 x = 2 ( 5 - y ) } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. 2 мәнін 5-y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$3x=10-2y$$

Екі жағына 2y қосу.

$$3x+2y=10$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x-y=2,3x+2y=10$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x-y=2$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$2x=y+2$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+2\right)$$

\frac{1}{2} санын y+2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{2}y+1$$

Басқа теңдеуде \frac{y}{2}+1 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+2y=10.

$$3\left(\frac{1}{2}y+1\right)+2y=10$$

3 санын \frac{y}{2}+1 санына көбейтіңіз.

$$\frac{3}{2}y+3+2y=10$$

\frac{3y}{2} санын 2y санына қосу.

$$\frac{7}{2}y+3=10$$

Теңдеудің екі жағынан 3 санын алып тастаңыз.

$$\frac{7}{2}y=7$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{7}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=2$$

x=\frac{1}{2}y+1 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{2}\times 2+1$$

\frac{1}{2} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=1+1$$

1 санын 1 санына қосу.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. 2 мәнін 5-y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$3x=10-2y$$

Екі жағына 2y қосу.

$$3x+2y=10$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x-y=2,3x+2y=10$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2+\frac{1}{7}\times 10\\-\frac{3}{7}\times 2+\frac{2}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=2,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. 2 мәнін 5-y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$3x=10-2y$$

Екі жағына 2y қосу.

$$3x+2y=10$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x-y=2,3x+2y=10$$

2x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 2,2\times 3x+2\times 2y=2\times 10$$

Қысқартыңыз.

$$6x-3y=6,6x+4y=20$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x+4y=20 мәнін 6x-3y=6 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x-3y-4y=6-20$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-3y-4y=6-20$$

-3y санын -4y санына қосу.

$$-7y=6-20$$

6 санын -20 санына қосу.

$$-7y=-14$$

Екі жағын да -7 санына бөліңіз.

$$y=2$$

3x+2y=10 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+2\times 2=10$$

2 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$3x+4=10$$

Теңдеудің екі жағынан 4 санын алып тастаңыз.

$$3x=6$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=2$$