{l}{2x-7y=8}{y-2x=-3.20} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 7 y = 8 } \\ { y - 2 x = - 3.20 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1.2$$

$$y=-0.8$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x-7y=8,-2x+y=-3.2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x-7y=8$$

Теңдеудің екі жағына да 7y санын қосыңыз.

$$2x=7y+8$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(7y+8\right)$$

\frac{1}{2} санын 7y+8 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{7}{2}y+4$$

Басқа теңдеуде \frac{7y}{2}+4 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -2x+y=-3.2.

$$-2\left(\frac{7}{2}y+4\right)+y=-3.2$$

-2 санын \frac{7y}{2}+4 санына көбейтіңіз.

$$-7y-8+y=-3.2$$

-7y санын y санына қосу.

$$-6y-8=-3.2$$

Теңдеудің екі жағына да 8 санын қосыңыз.

$$-6y=4.8$$

Екі жағын да -6 санына бөліңіз.

$$y=-0.8$$

x=\frac{7}{2}y+4 теңдеуінде -0.8 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{7}{2}\left(-0.8\right)+4$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -0.8 санын \frac{7}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{14}{5}+4$$

4 санын -\frac{14}{5} санына қосу.

$$x=\frac{6}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{6}{5},y=-0.8$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x-7y=8,-2x+y=-3.2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}&-\frac{-7}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 8-\frac{7}{12}\left(-3.2\right)\\-\frac{1}{6}\times 8-\frac{1}{6}\left(-3.2\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{6}{5},y=-\frac{4}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x-7y=8,-2x+y=-3.2$$

2x және -2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$-2\times 2x-2\left(-7\right)y=-2\times 8,2\left(-2\right)x+2y=2\left(-3.2\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-4x+14y=-16,-4x+2y=-6.4$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -4x+2y=-6.4 мәнін -4x+14y=-16 мәнінен алып тастаңыз.

$$-4x+4x+14y-2y=-16+6.4$$

-4x санын 4x санына қосу. -4x және 4x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$14y-2y=-16+6.4$$

14y санын -2y санына қосу.

$$12y=-16+6.4$$

-16 санын 6.4 санына қосу.

$$12y=-9.6$$

Екі жағын да 12 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{4}{5}$$

-2x+y=-3.2 теңдеуінде -\frac{4}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2x-\frac{4}{5}=-3.2$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{4}{5} санын қосыңыз.

$$-2x=-\frac{12}{5}$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{6}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{6}{5},y=-\frac{4}{5}$$