{l}{2x-3y=5}{4x-5y=7} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 5 } \\ { 4 x - 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-2$$

$$y=-3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x-3y=5,4x-5y=7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x-3y=5$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$2x=3y+5$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+5\right)$$

\frac{1}{2} санын 3y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{3y+5}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x-5y=7.

$$4\left(\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-5y=7$$

4 санын \frac{3y+5}{2} санына көбейтіңіз.

$$6y+10-5y=7$$

6y санын -5y санына қосу.

$$y+10=7$$

Теңдеудің екі жағынан 10 санын алып тастаңыз.

$$y=-3$$

x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2} теңдеуінде -3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+\frac{5}{2}$$

\frac{3}{2} санын -3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-9+5}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{2} бөлшегіне -\frac{9}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-2,y=-3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x-3y=5,4x-5y=7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-3\\4&-5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\left(-5\right)-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\left(-5\right)-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\left(-5\right)-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 5+\frac{3}{2}\times 7\\-2\times 5+7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-2,y=-3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x-3y=5,4x-5y=7$$

2x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\times 5,2\times 4x+2\left(-5\right)y=2\times 7$$

Қысқартыңыз.

$$8x-12y=20,8x-10y=14$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 8x-10y=14 мәнін 8x-12y=20 мәнінен алып тастаңыз.

$$8x-8x-12y+10y=20-14$$

8x санын -8x санына қосу. 8x және -8x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-12y+10y=20-14$$

-12y санын 10y санына қосу.

$$-2y=20-14$$

20 санын -14 санына қосу.

$$-2y=6$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$y=-3$$

4x-5y=7 теңдеуінде -3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x-5\left(-3\right)=7$$

-5 санын -3 санына көбейтіңіз.

$$4x+15=7$$

Теңдеудің екі жағынан 15 санын алып тастаңыз.

$$4x=-8$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-2,y=-3$$