{l}{2x-3y=1}{3x+5y=1} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 1 } \\ { 3 x + 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{8}{19}\approx 0.421052632$$

$$y=-\frac{1}{19}\approx -0.052631579$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x-3y=1$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$2x=3y+1$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+1\right)$$

\frac{1}{2} санын 3y+1 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{3y+1}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+5y=1.

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+5y=1$$

3 санын \frac{3y+1}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}+5y=1$$

\frac{9y}{2} санын 5y санына қосу.

$$\frac{19}{2}y+\frac{3}{2}=1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{3}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{19}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{19}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{1}{19}$$

x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2} теңдеуінде -\frac{1}{19} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{19}\right)+\frac{1}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{1}{19} санын \frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{3}{38}+\frac{1}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{2} бөлшегіне -\frac{3}{38} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{8}{19}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5+3}{19}\\\frac{-3+2}{19}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\\-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

2x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3,2\times 3x+2\times 5y=2$$

Қысқартыңыз.

$$6x-9y=3,6x+10y=2$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x+10y=2 мәнін 6x-9y=3 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x-9y-10y=3-2$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-9y-10y=3-2$$

-9y санын -10y санына қосу.

$$-19y=3-2$$

3 санын -2 санына қосу.

$$-19y=1$$

Екі жағын да -19 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{1}{19}$$

3x+5y=1 теңдеуінде -\frac{1}{19} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+5\left(-\frac{1}{19}\right)=1$$

5 санын -\frac{1}{19} санына көбейтіңіз.

$$3x-\frac{5}{19}=1$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{5}{19} санын қосыңыз.

$$3x=\frac{24}{19}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{8}{19}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$