{l}{2x-3y=-5}{4x+9y=-7} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 5 } \\ { 4 x + 9 y = - 7 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x-3y=-5$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$2x=3y-5$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

\frac{1}{2} санын 3y-5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{3y-5}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+9y=-7.

$$4\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)+9y=-7$$

4 санын \frac{3y-5}{2} санына көбейтіңіз.

$$6y-10+9y=-7$$

6y санын 9y санына қосу.

$$15y-10=-7$$

Теңдеудің екі жағына да 10 санын қосыңыз.

$$15y=3$$

Екі жағын да 15 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{5}$$

x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2} теңдеуінде \frac{1}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{1}{5}-\frac{5}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{1}{5} санын \frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{3}{10}-\frac{5}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{5}{2} бөлшегіне \frac{3}{10} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\left(-5\right)+\frac{1}{10}\left(-7\right)\\-\frac{2}{15}\left(-5\right)+\frac{1}{15}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

2x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-5\right),2\times 4x+2\times 9y=2\left(-7\right)$$

Қысқартыңыз.

$$8x-12y=-20,8x+18y=-14$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 8x+18y=-14 мәнін 8x-12y=-20 мәнінен алып тастаңыз.

$$8x-8x-12y-18y=-20+14$$

8x санын -8x санына қосу. 8x және -8x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-12y-18y=-20+14$$

-12y санын -18y санына қосу.

$$-30y=-20+14$$

-20 санын 14 санына қосу.

$$-30y=-6$$

Екі жағын да -30 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{5}$$

4x+9y=-7 теңдеуінде \frac{1}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+9\times \frac{1}{5}=-7$$

9 санын \frac{1}{5} санына көбейтіңіз.

$$4x+\frac{9}{5}=-7$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{9}{5} санын алып тастаңыз.

$$4x=-\frac{44}{5}$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$