{l}{2x+y=5}{-x+5y=3} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 5 } \\ { - x + 5 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+y=5,-x+5y=3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+y=5$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$2x=-y+5$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

\frac{1}{2} санын -y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+5}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -x+5y=3.

$$-\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+5y=3$$

-1 санын \frac{-y+5}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}+5y=3$$

\frac{y}{2} санын 5y санына қосу.

$$\frac{11}{2}y-\frac{5}{2}=3$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{5}{2} санын қосыңыз.

$$\frac{11}{2}y=\frac{11}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{11}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=1$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2} теңдеуінде 1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{-1+5}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{2} бөлшегіне -\frac{1}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+y=5,-x+5y=3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-1\right)}&-\frac{1}{2\times 5-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\times 5-\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}&-\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}\times 5-\frac{1}{11}\times 3\\\frac{1}{11}\times 5+\frac{2}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=2,y=1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+y=5,-x+5y=3$$

2x және -x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$-2x-y=-5,2\left(-1\right)x+2\times 5y=2\times 3$$

Қысқартыңыз.

$$-2x-y=-5,-2x+10y=6$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -2x+10y=6 мәнін -2x-y=-5 мәнінен алып тастаңыз.

$$-2x+2x-y-10y=-5-6$$

-2x санын 2x санына қосу. -2x және 2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-y-10y=-5-6$$

-y санын -10y санына қосу.

$$-11y=-5-6$$

-5 санын -6 санына қосу.

$$-11y=-11$$

Екі жағын да -11 санына бөліңіз.

$$y=1$$

-x+5y=3 теңдеуінде 1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-x+5=3$$

Теңдеудің екі жағынан 5 санын алып тастаңыз.

$$-x=-2$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=1$$