{l}{2x+y=11}{5x+3y=30} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 11 } \\ { 5 x + 3 y = 30 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=3$$

$$y=5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+y=11$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$2x=-y+11$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+11\right)$$

\frac{1}{2} санын -y+11 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+11}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x+3y=30.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}\right)+3y=30$$

5 санын \frac{-y+11}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{55}{2}+3y=30$$

-\frac{5y}{2} санын 3y санына қосу.

$$\frac{1}{2}y+\frac{55}{2}=30$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{55}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

Екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$y=5$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2} теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{11}{2}$$

-\frac{1}{2} санын 5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-5+11}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{11}{2} бөлшегіне -\frac{5}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5}&-\frac{1}{2\times 3-5}\\-\frac{5}{2\times 3-5}&\frac{2}{2\times 3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 11-30\\-5\times 11+2\times 30\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=3,y=5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

2x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$5\times 2x+5y=5\times 11,2\times 5x+2\times 3y=2\times 30$$

Қысқартыңыз.

$$10x+5y=55,10x+6y=60$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10x+6y=60 мәнін 10x+5y=55 мәнінен алып тастаңыз.

$$10x-10x+5y-6y=55-60$$

10x санын -10x санына қосу. 10x және -10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$5y-6y=55-60$$

5y санын -6y санына қосу.

$$-y=55-60$$

55 санын -60 санына қосу.

$$-y=-5$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$y=5$$

5x+3y=30 теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x+3\times 5=30$$

3 санын 5 санына көбейтіңіз.

$$5x+15=30$$

Теңдеудің екі жағынан 15 санын алып тастаңыз.

$$5x=15$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=5$$