{l}{2x+y=-6}{y=1/4x+3} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 4 } x + 3 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-4$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{1}{4}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+y=-6$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$2x=-y-6$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

\frac{1}{2} санын -y-6 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{2}-3 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -\frac{1}{4}x+y=3.

$$-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

-\frac{1}{4} санын -\frac{y}{2}-3 санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{8}y+\frac{3}{4}+y=3$$

\frac{y}{8} санын y санына қосу.

$$\frac{9}{8}y+\frac{3}{4}=3$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{3}{4} санын алып тастаңыз.

$$\frac{9}{8}y=\frac{9}{4}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{9}{8} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=2$$

x=-\frac{1}{2}y-3 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2-3$$

-\frac{1}{2} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=-1-3$$

-3 санын -1 санына қосу.

$$x=-4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-4,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{1}{4}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}&-\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{1}{4}}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}&\frac{2}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&-\frac{4}{9}\\\frac{1}{9}&\frac{8}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\left(-6\right)-\frac{4}{9}\times 3\\\frac{1}{9}\left(-6\right)+\frac{8}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-4,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{1}{4}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -\frac{1}{4}x+y=3 мәнін 2x+y=-6 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x+\frac{1}{4}x+y-y=-6-3$$

y санын -y санына қосу. y және -y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2x+\frac{1}{4}x=-6-3$$

2x санын \frac{x}{4} санына қосу.

$$\frac{9}{4}x=-6-3$$

-6 санын -3 санына қосу.

$$\frac{9}{4}x=-9$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{9}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=-4$$

-\frac{1}{4}x+y=3 теңдеуінде -4 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$-\frac{1}{4}\left(-4\right)+y=3$$

-\frac{1}{4} санын -4 санына көбейтіңіз.

$$1+y=3$$

Теңдеудің екі жағынан 1 санын алып тастаңыз.

$$y=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-4,y=2$$