{l}{2x+8y=16}{11-x+2y=0} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 16 } \\ { 11 - x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=10$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+8y=16$$

Теңдеудің екі жағынан 8y санын алып тастаңыз.

$$2x=-8y+16$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+16\right)$$

\frac{1}{2} санын -8y+16 санына көбейтіңіз.

$$x=-4y+8$$

Басқа теңдеуде -4y+8 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -x+2y+11=0.

$$-\left(-4y+8\right)+2y+11=0$$

-1 санын -4y+8 санына көбейтіңіз.

$$4y-8+2y+11=0$$

4y санын 2y санына қосу.

$$6y-8+11=0$$

-8 санын 11 санына қосу.

$$6y+3=0$$

Теңдеудің екі жағынан 3 санын алып тастаңыз.

$$6y=-3$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{1}{2}$$

x=-4y+8 теңдеуінде -\frac{1}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-4\left(-\frac{1}{2}\right)+8$$

-4 санын -\frac{1}{2} санына көбейтіңіз.

$$x=2+8$$

8 санын 2 санына қосу.

$$x=10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}&-\frac{8}{2\times 2-8\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-8\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 16-\frac{2}{3}\left(-11\right)\\\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{6}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

2x және -x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$-2x-8y=-16,2\left(-1\right)x+2\times 2y+2\times 11=0$$

Қысқартыңыз.

$$-2x-8y=-16,-2x+4y+22=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -2x+4y+22=0 мәнін -2x-8y=-16 мәнінен алып тастаңыз.

$$-2x+2x-8y-4y-22=-16$$

-2x санын 2x санына қосу. -2x және 2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-8y-4y-22=-16$$

-8y санын -4y санына қосу.

$$-12y-22=-16$$

Теңдеудің екі жағына да 22 санын қосыңыз.

$$-12y=6$$

Екі жағын да -12 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{1}{2}$$

-x+2y+11=0 теңдеуінде -\frac{1}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-x+2\left(-\frac{1}{2}\right)+11=0$$

2 санын -\frac{1}{2} санына көбейтіңіз.

$$-x-1+11=0$$

-1 санын 11 санына қосу.

$$-x+10=0$$

Теңдеудің екі жағынан 10 санын алып тастаңыз.

$$-x=-10$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$x=10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$