{l}{2x+7y=15}{3x-5y=23} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 15 } \\ { 3 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{236}{31} = 7\frac{19}{31} \approx 7.612903226$$

$$y=-\frac{1}{31}\approx -0.032258065$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+7y=15$$

Теңдеудің екі жағынан 7y санын алып тастаңыз.

$$2x=-7y+15$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+15\right)$$

\frac{1}{2} санын -7y+15 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-7y+15}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x-5y=23.

$$3\left(-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}\right)-5y=23$$

3 санын \frac{-7y+15}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{45}{2}-5y=23$$

-\frac{21y}{2} санын -5y санына қосу.

$$-\frac{31}{2}y+\frac{45}{2}=23$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{45}{2} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{31}{2}y=\frac{1}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{31}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{1}{31}$$

x=-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2} теңдеуінде -\frac{1}{31} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{7}{2}\left(-\frac{1}{31}\right)+\frac{15}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{1}{31} санын -\frac{7}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{7}{62}+\frac{15}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{15}{2} бөлшегіне \frac{7}{62} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{236}{31}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-7\times 3}&-\frac{7}{2\left(-5\right)-7\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-7\times 3}&\frac{2}{2\left(-5\right)-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{7}{31}\\\frac{3}{31}&-\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 15+\frac{7}{31}\times 23\\\frac{3}{31}\times 15-\frac{2}{31}\times 23\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{236}{31}\\-\frac{1}{31}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

2x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2x+3\times 7y=3\times 15,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times 23$$

Қысқартыңыз.

$$6x+21y=45,6x-10y=46$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x-10y=46 мәнін 6x+21y=45 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x+21y+10y=45-46$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$21y+10y=45-46$$

21y санын 10y санына қосу.

$$31y=45-46$$

45 санын -46 санына қосу.

$$31y=-1$$

Екі жағын да 31 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{1}{31}$$

3x-5y=23 теңдеуінде -\frac{1}{31} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x-5\left(-\frac{1}{31}\right)=23$$

-5 санын -\frac{1}{31} санына көбейтіңіз.

$$3x+\frac{5}{31}=23$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{5}{31} санын алып тастаңыз.

$$3x=\frac{708}{31}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{236}{31}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$