{l}{2x+4y=12}{5x-8y=16} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 12 } \\ { 5 x - 8 y = 16 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9} \approx 4.444444444$$

$$y=\frac{7}{9}\approx 0.777777778$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+4y=12$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$2x=-4y+12$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+12\right)$$

\frac{1}{2} санын -4y+12 санына көбейтіңіз.

$$x=-2y+6$$

Басқа теңдеуде -2y+6 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x-8y=16.

$$5\left(-2y+6\right)-8y=16$$

5 санын -2y+6 санына көбейтіңіз.

$$-10y+30-8y=16$$

-10y санын -8y санына қосу.

$$-18y+30=16$$

Теңдеудің екі жағынан 30 санын алып тастаңыз.

$$-18y=-14$$

Екі жағын да -18 санына бөліңіз.

$$y=\frac{7}{9}$$

x=-2y+6 теңдеуінде \frac{7}{9} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2\times \frac{7}{9}+6$$

-2 санын \frac{7}{9} санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{14}{9}+6$$

6 санын -\frac{14}{9} санына қосу.

$$x=\frac{40}{9}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{2\left(-8\right)-4\times 5}&-\frac{4}{2\left(-8\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-8\right)-4\times 5}&\frac{2}{2\left(-8\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{36}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 12+\frac{1}{9}\times 16\\\frac{5}{36}\times 12-\frac{1}{18}\times 16\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{9}\\\frac{7}{9}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

2x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 12,2\times 5x+2\left(-8\right)y=2\times 16$$

Қысқартыңыз.

$$10x+20y=60,10x-16y=32$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10x-16y=32 мәнін 10x+20y=60 мәнінен алып тастаңыз.

$$10x-10x+20y+16y=60-32$$

10x санын -10x санына қосу. 10x және -10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$20y+16y=60-32$$

20y санын 16y санына қосу.

$$36y=60-32$$

60 санын -32 санына қосу.

$$36y=28$$

Екі жағын да 36 санына бөліңіз.

$$y=\frac{7}{9}$$

5x-8y=16 теңдеуінде \frac{7}{9} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x-8\times \frac{7}{9}=16$$

-8 санын \frac{7}{9} санына көбейтіңіз.

$$5x-\frac{56}{9}=16$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{56}{9} санын қосыңыз.

$$5x=\frac{200}{9}$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{40}{9}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$