{l}{2x+4y=1}{2x-6y=-4} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 1 } \\ { 2 x - 6 y = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+4y=1$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$2x=-4y+1$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+1\right)$$

\frac{1}{2} санын -4y+1 санына көбейтіңіз.

$$x=-2y+\frac{1}{2}$$

Басқа теңдеуде -2y+\frac{1}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x-6y=-4.

$$2\left(-2y+\frac{1}{2}\right)-6y=-4$$

2 санын -2y+\frac{1}{2} санына көбейтіңіз.

$$-4y+1-6y=-4$$

-4y санын -6y санына қосу.

$$-10y+1=-4$$

Теңдеудің екі жағынан 1 санын алып тастаңыз.

$$-10y=-5$$

Екі жағын да -10 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{2}$$

x=-2y+\frac{1}{2} теңдеуінде \frac{1}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}$$

-2 санын \frac{1}{2} санына көбейтіңіз.

$$x=-1+\frac{1}{2}$$

\frac{1}{2} санын -1 санына қосу.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-4\times 2}&-\frac{4}{2\left(-6\right)-4\times 2}\\-\frac{2}{2\left(-6\right)-4\times 2}&\frac{2}{2\left(-6\right)-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}+\frac{1}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}-\frac{1}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x-6y=-4 мәнін 2x+4y=1 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-2x+4y+6y=1+4$$

2x санын -2x санына қосу. 2x және -2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4y+6y=1+4$$

4y санын 6y санына қосу.

$$10y=1+4$$

1 санын 4 санына қосу.

$$10y=5$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{2}$$

2x-6y=-4 теңдеуінде \frac{1}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-6\times \frac{1}{2}=-4$$

-6 санын \frac{1}{2} санына көбейтіңіз.

$$2x-3=-4$$

Теңдеудің екі жағына да 3 санын қосыңыз.

$$2x=-1$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$