{l}{2x+3y=7,80}{5x+4y=13,20} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 7,80 } \\ { 5 x + 4 y = 13,20 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1,2$$

$$y=1,8$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+3y=7,8;5x+4y=13,2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+3y=7,8$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$2x=-3y+7,8$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+7,8\right)$$

\frac{1}{2} санын -3y+7,8 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10}$$

Басқа теңдеуде -\frac{3y}{2}+\frac{39}{10} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x+4y=13,2.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10}\right)+4y=13,2$$

5 санын -\frac{3y}{2}+\frac{39}{10} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{39}{2}+4y=13,2$$

-\frac{15y}{2} санын 4y санына қосу.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{39}{2}=13,2$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{39}{2} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{7}{2}y=-\frac{63}{10}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{7}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{9}{5}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{39}{10} теңдеуінде \frac{9}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{9}{5}+\frac{39}{10}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{9}{5} санын -\frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{-27+39}{10}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{39}{10} бөлшегіне -\frac{27}{10} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{6}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{6}{5};y=\frac{9}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+3y=7,8;5x+4y=13,2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7,8\\13,2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7,8\\13,2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7,8\\13,2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7,8\\13,2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 4-3\times 5}&\frac{2}{2\times 4-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7,8\\13,2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7,8\\13,2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 7,8+\frac{3}{7}\times 13,2\\\frac{5}{7}\times 7,8-\frac{2}{7}\times 13,2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{6}{5};y=\frac{9}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+3y=7,8;5x+4y=13,2$$

2x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 7,8;2\times 5x+2\times 4y=2\times 13,2$$

Қысқартыңыз.

$$10x+15y=39;10x+8y=26,4$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10x+8y=26,4 мәнін 10x+15y=39 мәнінен алып тастаңыз.

$$10x-10x+15y-8y=39-26,4$$

10x санын -10x санына қосу. 10x және -10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$15y-8y=39-26,4$$

15y санын -8y санына қосу.

$$7y=39-26,4$$

39 санын -26,4 санына қосу.

$$7y=12,6$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$y=\frac{9}{5}$$

5x+4y=13,2 теңдеуінде \frac{9}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x+4\times \frac{9}{5}=13,2$$

4 санын \frac{9}{5} санына көбейтіңіз.

$$5x+\frac{36}{5}=13,2$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{36}{5} санын алып тастаңыз.

$$5x=6$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{6}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{6}{5};y=\frac{9}{5}$$