{l}{2x+3y=6}{-4x+3y=12} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 6 } \\ { - 4 x + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-1$$

$$y = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+3y=6,-4x+3y=12$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+3y=6$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$2x=-3y+6$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

\frac{1}{2} санын -3y+6 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Басқа теңдеуде -\frac{3y}{2}+3 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -4x+3y=12.

$$-4\left(-\frac{3}{2}y+3\right)+3y=12$$

-4 санын -\frac{3y}{2}+3 санына көбейтіңіз.

$$6y-12+3y=12$$

6y санын 3y санына қосу.

$$9y-12=12$$

Теңдеудің екі жағына да 12 санын қосыңыз.

$$9y=24$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$y=\frac{8}{3}$$

x=-\frac{3}{2}y+3 теңдеуінде \frac{8}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{8}{3}+3$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{8}{3} санын -\frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-4+3$$

3 санын -4 санына қосу.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=\frac{8}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+3y=6,-4x+3y=12$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\left(-4\right)}&-\frac{3}{2\times 3-3\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 3-3\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 3-3\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6-\frac{1}{6}\times 12\\\frac{2}{9}\times 6+\frac{1}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-1,y=\frac{8}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+3y=6,-4x+3y=12$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -4x+3y=12 мәнін 2x+3y=6 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x+4x+3y-3y=6-12$$

3y санын -3y санына қосу. 3y және -3y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2x+4x=6-12$$

2x санын 4x санына қосу.

$$6x=6-12$$

6 санын -12 санына қосу.

$$6x=-6$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=-1$$

-4x+3y=12 теңдеуінде -1 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$-4\left(-1\right)+3y=12$$

-4 санын -1 санына көбейтіңіз.

$$4+3y=12$$

Теңдеудің екі жағынан 4 санын алып тастаңыз.

$$3y=8$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$y=\frac{8}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=\frac{8}{3}$$