{l}{2x+2y=10}{1/2x+3/4y=20} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 10 } \\ { \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 3 } { 4 } y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-65$$

$$y=70$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+2y=10$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$2x=-2y+10$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+10\right)$$

\frac{1}{2} санын -2y+10 санына көбейтіңіз.

$$x=-y+5$$

Басқа теңдеуде -y+5 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20.

$$\frac{1}{2}\left(-y+5\right)+\frac{3}{4}y=20$$

\frac{1}{2} санын -y+5 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}+\frac{3}{4}y=20$$

-\frac{y}{2} санын \frac{3y}{4} санына қосу.

$$\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}=20$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{5}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{4}y=\frac{35}{2}$$

Екі жағын да 4 мәніне көбейтіңіз.

$$y=70$$

x=-y+5 теңдеуінде 70 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-70+5$$

5 санын -70 санына қосу.

$$x=-65$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-65,y=70$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{3}{4}}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}&-\frac{2}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}&\frac{2}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-4\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 10-4\times 20\\-10+4\times 20\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\70\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-65,y=70$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

2x және \frac{x}{2} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{1}{2} санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{2}\times 2x+\frac{1}{2}\times 2y=\frac{1}{2}\times 10,2\times \frac{1}{2}x+2\times \frac{3}{4}y=2\times 20$$

Қысқартыңыз.

$$x+y=5,x+\frac{3}{2}y=40$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы x+\frac{3}{2}y=40 мәнін x+y=5 мәнінен алып тастаңыз.

$$x-x+y-\frac{3}{2}y=5-40$$

x санын -x санына қосу. x және -x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$y-\frac{3}{2}y=5-40$$

y санын -\frac{3y}{2} санына қосу.

$$-\frac{1}{2}y=5-40$$

5 санын -40 санына қосу.

$$-\frac{1}{2}y=-35$$

Екі жағын да -2 мәніне көбейтіңіз.

$$y=70$$

\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20 теңдеуінде 70 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}\times 70=20$$

\frac{3}{4} санын 70 санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{2}x+\frac{105}{2}=20$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{105}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{65}{2}$$

Екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$x=-65$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-65,y=70$$