{l}{2m-3n=130}{-m+5=4n} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 130 } \\ { - m + 5 = 4 n } \end{array} \right.$$

m, n мәнін табыңыз

$$m = \frac{535}{11} = 48\frac{7}{11} \approx 48.636363636$$

$$n = -\frac{120}{11} = -10\frac{10}{11} \approx -10.909090909$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4n мәнін қысқартыңыз.

$$-m+5-4n=0$$

Екі жағынан да 5 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$-m-4n=-5$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және m мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы m мәнін шешіңіз.

$$2m-3n=130$$

Теңдеудің екі жағына да 3n санын қосыңыз.

$$2m=3n+130$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+130\right)$$

\frac{1}{2} санын 3n+130 санына көбейтіңіз.

$$m=\frac{3}{2}n+65$$

Басқа теңдеуде \frac{3n}{2}+65 мәнін m мәнімен ауыстырыңыз, -m-4n=-5.

$$-\left(\frac{3}{2}n+65\right)-4n=-5$$

-1 санын \frac{3n}{2}+65 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{3}{2}n-65-4n=-5$$

-\frac{3n}{2} санын -4n санына қосу.

$$-\frac{11}{2}n-65=-5$$

Теңдеудің екі жағына да 65 санын қосыңыз.

$$-\frac{11}{2}n=60$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{11}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$n=-\frac{120}{11}$$

m=\frac{3}{2}n+65 теңдеуінде -\frac{120}{11} мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, m мәнін тікелей таба аласыз.

$$m=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{11}\right)+65$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{120}{11} санын \frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$m=-\frac{180}{11}+65$$

65 санын -\frac{180}{11} санына қосу.

$$m=\frac{535}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4n мәнін қысқартыңыз.

$$-m+5-4n=0$$

Екі жағынан да 5 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$-m-4n=-5$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 130-\frac{3}{11}\left(-5\right)\\-\frac{1}{11}\times 130-\frac{2}{11}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{535}{11}\\-\frac{120}{11}\end{matrix}\right)$$

m және n матрица элементтерін шығарыңыз.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4n мәнін қысқартыңыз.

$$-m+5-4n=0$$

Екі жағынан да 5 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$-m-4n=-5$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

2m және -m мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$-2m-\left(-3n\right)=-130,2\left(-1\right)m+2\left(-4\right)n=2\left(-5\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-2m+3n=-130,-2m-8n=-10$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -2m-8n=-10 мәнін -2m+3n=-130 мәнінен алып тастаңыз.

$$-2m+2m+3n+8n=-130+10$$

-2m санын 2m санына қосу. -2m және 2m мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$3n+8n=-130+10$$

3n санын 8n санына қосу.

$$11n=-130+10$$

-130 санын 10 санына қосу.

$$11n=-120$$

Екі жағын да 11 санына бөліңіз.

$$n=-\frac{120}{11}$$

-m-4n=-5 теңдеуінде -\frac{120}{11} мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, m мәнін тікелей таба аласыз.

$$-m-4\left(-\frac{120}{11}\right)=-5$$

-4 санын -\frac{120}{11} санына көбейтіңіз.

$$-m+\frac{480}{11}=-5$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{480}{11} санын алып тастаңыз.

$$-m=-\frac{535}{11}$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$m=\frac{535}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$