{l}{2m+3n=1}{15/9m-2n=1} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

m, n мәнін табыңыз

$$m=\frac{5}{9}\approx 0.555555556$$

$$n=-\frac{1}{27}\approx -0.037037037$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және m мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы m мәнін шешіңіз.

$$2m+3n=1$$

Теңдеудің екі жағынан 3n санын алып тастаңыз.

$$2m=-3n+1$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

\frac{1}{2} санын -3n+1 санына көбейтіңіз.

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3n+1}{2} мәнін m мәнімен ауыстырыңыз, \frac{5}{3}m-2n=1.

$$\frac{5}{3}\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

\frac{5}{3} санын \frac{-3n+1}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

-\frac{5n}{2} санын -2n санына қосу.

$$-\frac{9}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{5}{6} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{9}{2}n=\frac{1}{6}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{9}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$n=-\frac{1}{27}$$

m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2} теңдеуінде -\frac{1}{27} мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, m мәнін тікелей таба аласыз.

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{27}\right)+\frac{1}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{1}{27} санын -\frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$m=\frac{1}{18}+\frac{1}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{2} бөлшегіне \frac{1}{18} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$m=\frac{5}{9}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}+\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\\-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)$$

m және n матрица элементтерін шығарыңыз.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

2m және \frac{5m}{3} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{5}{3} санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\times 3n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

Қысқартыңыз.

$$\frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \frac{10}{3}m-4n=2 мәнін \frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3} мәнінен алып тастаңыз.

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m+5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

\frac{10m}{3} санын -\frac{10m}{3} санына қосу. \frac{10m}{3} және -\frac{10m}{3} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

5n санын 4n санына қосу.

$$9n=\frac{5}{3}-2$$

\frac{5}{3} санын -2 санына қосу.

$$9n=-\frac{1}{3}$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$n=-\frac{1}{27}$$

\frac{5}{3}m-2n=1 теңдеуінде -\frac{1}{27} мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, m мәнін тікелей таба аласыз.

$$\frac{5}{3}m-2\left(-\frac{1}{27}\right)=1$$

-2 санын -\frac{1}{27} санына көбейтіңіз.

$$\frac{5}{3}m+\frac{2}{27}=1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{2}{27} санын алып тастаңыз.

$$\frac{5}{3}m=\frac{25}{27}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{5}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$m=\frac{5}{9}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$