{l}{2ax+by=14}{-2x+9y=-19} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - 2 x + 9 y = - 19 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2ax+by=14$$

Теңдеудің екі жағынан by санын алып тастаңыз.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Екі жағын да 2a санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

\frac{1}{2a} санын -by+14 санына көбейтіңіз.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Басқа теңдеуде \frac{-by+14}{2a} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -2x+9y=-19.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

-2 санын \frac{-by+14}{2a} санына көбейтіңіз.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

\frac{by}{a} санын 9y санына қосу.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{14}{a} санын қосыңыз.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

Екі жағын да 9+\frac{b}{a} санына бөліңіз.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a} теңдеуінде \frac{14-19a}{9a+b} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

-\frac{b}{2a} санын \frac{14-19a}{9a+b} санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

\frac{7}{a} санын -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)} санына қосу.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

2ax және -2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2a санына көбейтіңіз.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Қысқартыңыз.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \left(-4a\right)x+18ay=-38a мәнін \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 мәнінен алып тастаңыз.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-4ax санын 4ax санына қосу. -4ax және 4ax мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-2by санын -18ay санына қосу.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

-28 санын 38a санына қосу.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

Екі жағын да -2b-18a санына бөліңіз.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

-2x+9y=-19 теңдеуінде -\frac{-14+19a}{b+9a} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

9 санын -\frac{-14+19a}{b+9a} санына көбейтіңіз.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} санын қосыңыз.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

x, y мәнін табыңыз

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2ax+by=14$$

Теңдеудің екі жағынан by санын алып тастаңыз.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Екі жағын да 2a санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

\frac{1}{2a} санын -by+14 санына көбейтіңіз.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Басқа теңдеуде \frac{-by+14}{2a} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -2x+9y=-19.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

-2 санын \frac{-by+14}{2a} санына көбейтіңіз.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

\frac{by}{a} санын 9y санына қосу.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{14}{a} санын қосыңыз.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

Екі жағын да 9+\frac{b}{a} санына бөліңіз.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a} теңдеуінде \frac{14-19a}{9a+b} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

-\frac{b}{2a} санын \frac{14-19a}{9a+b} санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

\frac{7}{a} санын -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)} санына қосу.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

2ax және -2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2a санына көбейтіңіз.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Қысқартыңыз.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \left(-4a\right)x+18ay=-38a мәнін \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 мәнінен алып тастаңыз.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-4ax санын 4ax санына қосу. -4ax және 4ax мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-2by санын -18ay санына қосу.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

-28 санын 38a санына қосу.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

Екі жағын да -2b-18a санына бөліңіз.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

-2x+9y=-19 теңдеуінде -\frac{-14+19a}{b+9a} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

9 санын -\frac{-14+19a}{b+9a} санына көбейтіңіз.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} санын қосыңыз.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$