{l}{2a+3b=4}{3a-8b=5} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 4 } \\ { 3 a - 8 b = 5 } \end{array} \right.$$

a, b мәнін табыңыз

$$a = \frac{47}{25} = 1\frac{22}{25} = 1.88$$

$$b=\frac{2}{25}=0.08$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2a+3b=4,3a-8b=5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және a мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы a мәнін шешіңіз.

$$2a+3b=4$$

Теңдеудің екі жағынан 3b санын алып тастаңыз.

$$2a=-3b+4$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$a=\frac{1}{2}\left(-3b+4\right)$$

\frac{1}{2} санын -3b+4 санына көбейтіңіз.

$$a=-\frac{3}{2}b+2$$

Басқа теңдеуде -\frac{3b}{2}+2 мәнін a мәнімен ауыстырыңыз, 3a-8b=5.

$$3\left(-\frac{3}{2}b+2\right)-8b=5$$

3 санын -\frac{3b}{2}+2 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{9}{2}b+6-8b=5$$

-\frac{9b}{2} санын -8b санына қосу.

$$-\frac{25}{2}b+6=5$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{25}{2}b=-1$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{25}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$b=\frac{2}{25}$$

a=-\frac{3}{2}b+2 теңдеуінде \frac{2}{25} мәнін b мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$a=-\frac{3}{2}\times \frac{2}{25}+2$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{2}{25} санын -\frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$a=-\frac{3}{25}+2$$

2 санын -\frac{3}{25} санына қосу.

$$a=\frac{47}{25}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=\frac{47}{25},b=\frac{2}{25}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2a+3b=4,3a-8b=5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{2\left(-8\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-8\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-8\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-8\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{25}&\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&-\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{25}\times 4+\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 4-\frac{2}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{47}{25}\\\frac{2}{25}\end{matrix}\right)$$

a және b матрица элементтерін шығарыңыз.

$$a=\frac{47}{25},b=\frac{2}{25}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2a+3b=4,3a-8b=5$$

2a және 3a мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2a+3\times 3b=3\times 4,2\times 3a+2\left(-8\right)b=2\times 5$$

Қысқартыңыз.

$$6a+9b=12,6a-16b=10$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6a-16b=10 мәнін 6a+9b=12 мәнінен алып тастаңыз.

$$6a-6a+9b+16b=12-10$$

6a санын -6a санына қосу. 6a және -6a мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$9b+16b=12-10$$

9b санын 16b санына қосу.

$$25b=12-10$$

12 санын -10 санына қосу.

$$25b=2$$

Екі жағын да 25 санына бөліңіз.

$$b=\frac{2}{25}$$

3a-8b=5 теңдеуінде \frac{2}{25} мәнін b мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$3a-8\times \frac{2}{25}=5$$

-8 санын \frac{2}{25} санына көбейтіңіз.

$$3a-\frac{16}{25}=5$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{16}{25} санын қосыңыз.

$$3a=\frac{141}{25}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$a=\frac{47}{25}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=\frac{47}{25},b=\frac{2}{25}$$