{l}{2(3x-4)+3y=31}{x/2-y/5=5} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 3 x - 4 ) + 3 y = 31 } \\ { \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 5 } = 5 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{76}{9} = 8\frac{4}{9} \approx 8.444444444$$

$$y = -\frac{35}{9} = -3\frac{8}{9} \approx -3.888888889$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. 2 мәнін 3x-4 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$6x-8+3y=31$$

Екі жағына 8 қосу.

$$6x+3y=31+8$$

39 мәнін алу үшін, 31 және 8 мәндерін қосыңыз.

$$6x+3y=39$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 10 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 2,5.

$$5x-2y=50$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$6x+3y=39$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$6x=-3y+39$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+39\right)$$

\frac{1}{6} санын -3y+39 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+13}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x-2y=50.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-2y=50$$

5 санын \frac{-y+13}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{65}{2}-2y=50$$

-\frac{5y}{2} санын -2y санына қосу.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{65}{2}=50$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{65}{2} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{35}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{9}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{35}{9}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2} теңдеуінде -\frac{35}{9} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{35}{9}\right)+\frac{13}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{35}{9} санын -\frac{1}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{35}{18}+\frac{13}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{13}{2} бөлшегіне \frac{35}{18} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{76}{9}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. 2 мәнін 3x-4 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$6x-8+3y=31$$

Екі жағына 8 қосу.

$$6x+3y=31+8$$

39 мәнін алу үшін, 31 және 8 мәндерін қосыңыз.

$$6x+3y=39$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 10 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 2,5.

$$5x-2y=50$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{6\left(-2\right)-3\times 5}&-\frac{3}{6\left(-2\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{6\left(-2\right)-3\times 5}&\frac{6}{6\left(-2\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 39+\frac{1}{9}\times 50\\\frac{5}{27}\times 39-\frac{2}{9}\times 50\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{9}\\-\frac{35}{9}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. 2 мәнін 3x-4 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$6x-8+3y=31$$

Екі жағына 8 қосу.

$$6x+3y=31+8$$

39 мәнін алу үшін, 31 және 8 мәндерін қосыңыз.

$$6x+3y=39$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 10 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 2,5.

$$5x-2y=50$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

6x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына көбейтіңіз.

$$5\times 6x+5\times 3y=5\times 39,6\times 5x+6\left(-2\right)y=6\times 50$$

Қысқартыңыз.

$$30x+15y=195,30x-12y=300$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 30x-12y=300 мәнін 30x+15y=195 мәнінен алып тастаңыз.

$$30x-30x+15y+12y=195-300$$

30x санын -30x санына қосу. 30x және -30x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$15y+12y=195-300$$

15y санын 12y санына қосу.

$$27y=195-300$$

195 санын -300 санына қосу.

$$27y=-105$$

Екі жағын да 27 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{35}{9}$$

5x-2y=50 теңдеуінде -\frac{35}{9} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x-2\left(-\frac{35}{9}\right)=50$$

-2 санын -\frac{35}{9} санына көбейтіңіз.

$$5x+\frac{70}{9}=50$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{70}{9} санын алып тастаңыз.

$$5x=\frac{380}{9}$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{76}{9}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$