{l}{16m+50n=55}{2m+4n=5} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 16 m + 50 n = 55 } \\ { 2 m + 4 n = 5 } \end{array} \right.$$

m, n мәнін табыңыз

$$m=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$n=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және m мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы m мәнін шешіңіз.

$$16m+50n=55$$

Теңдеудің екі жағынан 50n санын алып тастаңыз.

$$16m=-50n+55$$

Екі жағын да 16 санына бөліңіз.

$$m=\frac{1}{16}\left(-50n+55\right)$$

\frac{1}{16} санын -50n+55 санына көбейтіңіз.

$$m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}$$

Басқа теңдеуде -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16} мәнін m мәнімен ауыстырыңыз, 2m+4n=5.

$$2\left(-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}\right)+4n=5$$

2 санын -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{25}{4}n+\frac{55}{8}+4n=5$$

-\frac{25n}{4} санын 4n санына қосу.

$$-\frac{9}{4}n+\frac{55}{8}=5$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{55}{8} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{9}{4}n=-\frac{15}{8}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{9}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$n=\frac{5}{6}$$

m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16} теңдеуінде \frac{5}{6} мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, m мәнін тікелей таба аласыз.

$$m=-\frac{25}{8}\times \frac{5}{6}+\frac{55}{16}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{5}{6} санын -\frac{25}{8} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$m=-\frac{125}{48}+\frac{55}{16}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{55}{16} бөлшегіне -\frac{125}{48} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$m=\frac{5}{6}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{16\times 4-50\times 2}&-\frac{50}{16\times 4-50\times 2}\\-\frac{2}{16\times 4-50\times 2}&\frac{16}{16\times 4-50\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{25}{18}\\\frac{1}{18}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 55+\frac{25}{18}\times 5\\\frac{1}{18}\times 55-\frac{4}{9}\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

m және n матрица элементтерін шығарыңыз.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

16m және 2m мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 16 санына көбейтіңіз.

$$2\times 16m+2\times 50n=2\times 55,16\times 2m+16\times 4n=16\times 5$$

Қысқартыңыз.

$$32m+100n=110,32m+64n=80$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 32m+64n=80 мәнін 32m+100n=110 мәнінен алып тастаңыз.

$$32m-32m+100n-64n=110-80$$

32m санын -32m санына қосу. 32m және -32m мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$100n-64n=110-80$$

100n санын -64n санына қосу.

$$36n=110-80$$

110 санын -80 санына қосу.

$$36n=30$$

Екі жағын да 36 санына бөліңіз.

$$n=\frac{5}{6}$$

2m+4n=5 теңдеуінде \frac{5}{6} мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, m мәнін тікелей таба аласыз.

$$2m+4\times \frac{5}{6}=5$$

4 санын \frac{5}{6} санына көбейтіңіз.

$$2m+\frac{10}{3}=5$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{10}{3} санын алып тастаңыз.

$$2m=\frac{5}{3}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$m=\frac{5}{6}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$