{l}{125x+110y=6100}{x+y=50} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 125 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=40$$

$$y=10$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$125x+110y=6100$$

Теңдеудің екі жағынан 110y санын алып тастаңыз.

$$125x=-110y+6100$$

Екі жағын да 125 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{125}\left(-110y+6100\right)$$

\frac{1}{125} санын -110y+6100 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}$$

Басқа теңдеуде -\frac{22y}{25}+\frac{244}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+y=50.

$$-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}+y=50$$

-\frac{22y}{25} санын y санына қосу.

$$\frac{3}{25}y+\frac{244}{5}=50$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{244}{5} санын алып тастаңыз.

$$\frac{3}{25}y=\frac{6}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{3}{25} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=10$$

x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5} теңдеуінде 10 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{22}{25}\times 10+\frac{244}{5}$$

-\frac{22}{25} санын 10 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-44+244}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{244}{5} бөлшегіне -\frac{44}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=40$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=40,y=10$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{125-110}&-\frac{110}{125-110}\\-\frac{1}{125-110}&\frac{125}{125-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{22}{3}\\-\frac{1}{15}&\frac{25}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 6100-\frac{22}{3}\times 50\\-\frac{1}{15}\times 6100+\frac{25}{3}\times 50\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=40,y=10$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

125x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 125 санына көбейтіңіз.

$$125x+110y=6100,125x+125y=125\times 50$$

Қысқартыңыз.

$$125x+110y=6100,125x+125y=6250$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 125x+125y=6250 мәнін 125x+110y=6100 мәнінен алып тастаңыз.

$$125x-125x+110y-125y=6100-6250$$

125x санын -125x санына қосу. 125x және -125x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$110y-125y=6100-6250$$

110y санын -125y санына қосу.

$$-15y=6100-6250$$

6100 санын -6250 санына қосу.

$$-15y=-150$$

Екі жағын да -15 санына бөліңіз.

$$y=10$$

x+y=50 теңдеуінде 10 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+10=50$$

Теңдеудің екі жағынан 10 санын алып тастаңыз.

$$x=40$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=40,y=10$$