{l}{11x+19y=25}{19x+11y=15} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 11 x + 19 y = 25 } \\ { 19 x + 11 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{1}{24}\approx 0.041666667$$

$$y = \frac{31}{24} = 1\frac{7}{24} \approx 1.291666667$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$11x+19y=25$$

Теңдеудің екі жағынан 19y санын алып тастаңыз.

$$11x=-19y+25$$

Екі жағын да 11 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{11}\left(-19y+25\right)$$

\frac{1}{11} санын -19y+25 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}$$

Басқа теңдеуде \frac{-19y+25}{11} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 19x+11y=15.

$$19\left(-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}\right)+11y=15$$

19 санын \frac{-19y+25}{11} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{361}{11}y+\frac{475}{11}+11y=15$$

-\frac{361y}{11} санын 11y санына қосу.

$$-\frac{240}{11}y+\frac{475}{11}=15$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{475}{11} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{240}{11}y=-\frac{310}{11}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{240}{11} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{31}{24}$$

x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11} теңдеуінде \frac{31}{24} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{19}{11}\times \frac{31}{24}+\frac{25}{11}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{31}{24} санын -\frac{19}{11} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{589}{264}+\frac{25}{11}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{25}{11} бөлшегіне -\frac{589}{264} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{1}{24}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11\times 11-19\times 19}&-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}\\-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}&\frac{11}{11\times 11-19\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}&\frac{19}{240}\\\frac{19}{240}&-\frac{11}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}\times 25+\frac{19}{240}\times 15\\\frac{19}{240}\times 25-\frac{11}{240}\times 15\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\\\frac{31}{24}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

11x және 19x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 19 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 11 санына көбейтіңіз.

$$19\times 11x+19\times 19y=19\times 25,11\times 19x+11\times 11y=11\times 15$$

Қысқартыңыз.

$$209x+361y=475,209x+121y=165$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 209x+121y=165 мәнін 209x+361y=475 мәнінен алып тастаңыз.

$$209x-209x+361y-121y=475-165$$

209x санын -209x санына қосу. 209x және -209x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$361y-121y=475-165$$

361y санын -121y санына қосу.

$$240y=475-165$$

475 санын -165 санына қосу.

$$240y=310$$

Екі жағын да 240 санына бөліңіз.

$$y=\frac{31}{24}$$

19x+11y=15 теңдеуінде \frac{31}{24} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$19x+11\times \frac{31}{24}=15$$

11 санын \frac{31}{24} санына көбейтіңіз.

$$19x+\frac{341}{24}=15$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{341}{24} санын алып тастаңыз.

$$19x=\frac{19}{24}$$

Екі жағын да 19 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{24}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$