{l}{10x+y=6y+5}{10y+x=(10x+y)+27} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + y = 6 y + 5 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) + 27 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=4$$

$$y=7$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 6y мәнін қысқартыңыз.

$$10x+y-6y=5$$

y және -6y мәндерін қоссаңыз, -5y мәні шығады.

$$10x-5y=5$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 10x мәнін қысқартыңыз.

$$10y+x-10x=y+27$$

x және -10x мәндерін қоссаңыз, -9x мәні шығады.

$$10y-9x=y+27$$

Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$10y-9x-y=27$$

10y және -y мәндерін қоссаңыз, 9y мәні шығады.

$$9y-9x=27$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$10x-5y=5$$

Теңдеудің екі жағына да 5y санын қосыңыз.

$$10x=5y+5$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{10}\left(5y+5\right)$$

\frac{1}{10} санын 5+5y санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{1+y}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -9x+9y=27.

$$-9\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+9y=27$$

-9 санын \frac{1+y}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}+9y=27$$

-\frac{9y}{2} санын 9y санына қосу.

$$\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}=27$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{9}{2} санын қосыңыз.

$$\frac{9}{2}y=\frac{63}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{9}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=7$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2} теңдеуінде 7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

\frac{1}{2} санын 7 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{7+1}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{2} бөлшегіне \frac{7}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=7$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 6y мәнін қысқартыңыз.

$$10x+y-6y=5$$

y және -6y мәндерін қоссаңыз, -5y мәні шығады.

$$10x-5y=5$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 10x мәнін қысқартыңыз.

$$10y+x-10x=y+27$$

x және -10x мәндерін қоссаңыз, -9x мәні шығады.

$$10y-9x=y+27$$

Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$10y-9x-y=27$$

10y және -y мәндерін қоссаңыз, 9y мәні шығады.

$$9y-9x=27$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&-\frac{-5}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&\frac{10}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{9}\times 27\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=4,y=7$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 6y мәнін қысқартыңыз.

$$10x+y-6y=5$$

y және -6y мәндерін қоссаңыз, -5y мәні шығады.

$$10x-5y=5$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 10x мәнін қысқартыңыз.

$$10y+x-10x=y+27$$

x және -10x мәндерін қоссаңыз, -9x мәні шығады.

$$10y-9x=y+27$$

Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$10y-9x-y=27$$

10y және -y мәндерін қоссаңыз, 9y мәні шығады.

$$9y-9x=27$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

10x және -9x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -9 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 10 санына көбейтіңіз.

$$-9\times 10x-9\left(-5\right)y=-9\times 5,10\left(-9\right)x+10\times 9y=10\times 27$$

Қысқартыңыз.

$$-90x+45y=-45,-90x+90y=270$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -90x+90y=270 мәнін -90x+45y=-45 мәнінен алып тастаңыз.

$$-90x+90x+45y-90y=-45-270$$

-90x санын 90x санына қосу. -90x және 90x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$45y-90y=-45-270$$

45y санын -90y санына қосу.

$$-45y=-45-270$$

-45 санын -270 санына қосу.

$$-45y=-315$$

Екі жағын да -45 санына бөліңіз.

$$y=7$$

-9x+9y=27 теңдеуінде 7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-9x+9\times 7=27$$

9 санын 7 санына көбейтіңіз.

$$-9x+63=27$$

Теңдеудің екі жағынан 63 санын алып тастаңыз.

$$-9x=-36$$

Екі жағын да -9 санына бөліңіз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=7$$