{l}{10x+5y=170}{6x+10y=200} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 5 y = 170 } \\ { 6 x + 10 y = 200 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=10$$

$$y=14$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$10x+5y=170$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$10x=-5y+170$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{10}\left(-5y+170\right)$$

\frac{1}{10} санын -5y+170 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y+17$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{2}+17 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 6x+10y=200.

$$6\left(-\frac{1}{2}y+17\right)+10y=200$$

6 санын -\frac{y}{2}+17 санына көбейтіңіз.

$$-3y+102+10y=200$$

-3y санын 10y санына қосу.

$$7y+102=200$$

Теңдеудің екі жағынан 102 санын алып тастаңыз.

$$7y=98$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$y=14$$

x=-\frac{1}{2}y+17 теңдеуінде 14 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\times 14+17$$

-\frac{1}{2} санын 14 санына көбейтіңіз.

$$x=-7+17$$

17 санын -7 санына қосу.

$$x=10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=10,y=14$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10\times 10-5\times 6}&-\frac{5}{10\times 10-5\times 6}\\-\frac{6}{10\times 10-5\times 6}&\frac{10}{10\times 10-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{3}{35}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 170-\frac{1}{14}\times 200\\-\frac{3}{35}\times 170+\frac{1}{7}\times 200\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=10,y=14$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

10x және 6x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 10 санына көбейтіңіз.

$$6\times 10x+6\times 5y=6\times 170,10\times 6x+10\times 10y=10\times 200$$

Қысқартыңыз.

$$60x+30y=1020,60x+100y=2000$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 60x+100y=2000 мәнін 60x+30y=1020 мәнінен алып тастаңыз.

$$60x-60x+30y-100y=1020-2000$$

60x санын -60x санына қосу. 60x және -60x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$30y-100y=1020-2000$$

30y санын -100y санына қосу.

$$-70y=1020-2000$$

1020 санын -2000 санына қосу.

$$-70y=-980$$

Екі жағын да -70 санына бөліңіз.

$$y=14$$

6x+10y=200 теңдеуінде 14 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$6x+10\times 14=200$$

10 санын 14 санына көбейтіңіз.

$$6x+140=200$$

Теңдеудің екі жағынан 140 санын алып тастаңыз.

$$6x=60$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=10,y=14$$