{l}{10x+10y=9}{5x-2y=1} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 10 y = 9 } \\ { 5 x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$10x+10y=9$$

Теңдеудің екі жағынан 10y санын алып тастаңыз.

$$10x=-10y+9$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{10}\left(-10y+9\right)$$

\frac{1}{10} санын -10y+9 санына көбейтіңіз.

$$x=-y+\frac{9}{10}$$

Басқа теңдеуде -y+\frac{9}{10} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x-2y=1.

$$5\left(-y+\frac{9}{10}\right)-2y=1$$

5 санын -y+\frac{9}{10} санына көбейтіңіз.

$$-5y+\frac{9}{2}-2y=1$$

-5y санын -2y санына қосу.

$$-7y+\frac{9}{2}=1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{9}{2} санын алып тастаңыз.

$$-7y=-\frac{7}{2}$$

Екі жағын да -7 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{2}$$

x=-y+\frac{9}{10} теңдеуінде \frac{1}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{9}{10}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{9}{10} бөлшегіне -\frac{1}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{2}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{10\left(-2\right)-10\times 5}&-\frac{10}{10\left(-2\right)-10\times 5}\\-\frac{5}{10\left(-2\right)-10\times 5}&\frac{10}{10\left(-2\right)-10\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{35}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{14}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{35}\times 9+\frac{1}{7}\\\frac{1}{14}\times 9-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

10x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 10 санына көбейтіңіз.

$$5\times 10x+5\times 10y=5\times 9,10\times 5x+10\left(-2\right)y=10$$

Қысқартыңыз.

$$50x+50y=45,50x-20y=10$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 50x-20y=10 мәнін 50x+50y=45 мәнінен алып тастаңыз.

$$50x-50x+50y+20y=45-10$$

50x санын -50x санына қосу. 50x және -50x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$50y+20y=45-10$$

50y санын 20y санына қосу.

$$70y=45-10$$

45 санын -10 санына қосу.

$$70y=35$$

Екі жағын да 70 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{2}$$

5x-2y=1 теңдеуінде \frac{1}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x-2\times \frac{1}{2}=1$$

-2 санын \frac{1}{2} санына көбейтіңіз.

$$5x-1=1$$

Теңдеудің екі жағына да 1 санын қосыңыз.

$$5x=2$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{2}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$