{l}{0.5x+0.7y=35}{x+0.4y=40} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x + 0.7 y = 35 } \\ { x + 0.4 y = 40 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=28$$

$$y=30$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$0.5x+0.7y=35$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{7y}{10} санын алып тастаңыз.

$$0.5x=-0.7y+35$$

Екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$x=2\left(-0.7y+35\right)$$

2 санын -\frac{7y}{10}+35 санына көбейтіңіз.

$$x=-1.4y+70$$

Басқа теңдеуде -\frac{7y}{5}+70 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+0.4y=40.

$$-1.4y+70+0.4y=40$$

-\frac{7y}{5} санын \frac{2y}{5} санына қосу.

$$-y+70=40$$

Теңдеудің екі жағынан 70 санын алып тастаңыз.

$$-y=-30$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$y=30$$

x=-1.4y+70 теңдеуінде 30 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-1.4\times 30+70$$

-1.4 санын 30 санына көбейтіңіз.

$$x=-42+70$$

70 санын -42 санына қосу.

$$x=28$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=28,y=30$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.4}{0.5\times 0.4-0.7}&-\frac{0.7}{0.5\times 0.4-0.7}\\-\frac{1}{0.5\times 0.4-0.7}&\frac{0.5}{0.5\times 0.4-0.7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8&1.4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8\times 35+1.4\times 40\\2\times 35-40\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\30\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=28,y=30$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

\frac{x}{2} және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 0.5 санына көбейтіңіз.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.5\times 0.4y=0.5\times 40$$

Қысқартыңыз.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.2y=20$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 0.5x+0.2y=20 мәнін 0.5x+0.7y=35 мәнінен алып тастаңыз.

$$0.5x-0.5x+0.7y-0.2y=35-20$$

\frac{x}{2} санын -\frac{x}{2} санына қосу. \frac{x}{2} және -\frac{x}{2} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$0.7y-0.2y=35-20$$

\frac{7y}{10} санын -\frac{y}{5} санына қосу.

$$0.5y=35-20$$

35 санын -20 санына қосу.

$$0.5y=15$$

Екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$y=30$$

x+0.4y=40 теңдеуінде 30 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+0.4\times 30=40$$

0.4 санын 30 санына көбейтіңіз.

$$x+12=40$$

Теңдеудің екі жағынан 12 санын алып тастаңыз.

$$x=28$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=28,y=30$$