{l}{0.07r+0.02t=0.16}{0.05r-0.03t=0.21} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.07 r + 0.02 t = 0.16 } \\ { 0.05 r - 0.03 t = 0.21 } \end{array} \right.$$

r, t мәнін табыңыз

$$r = \frac{90}{31} = 2\frac{28}{31} \approx 2.903225806$$

$$t = -\frac{67}{31} = -2\frac{5}{31} \approx -2.161290323$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және r мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы r мәнін шешіңіз.

$$0.07r+0.02t=0.16$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{t}{50} санын алып тастаңыз.

$$0.07r=-0.02t+0.16$$

Теңдеудің екі жағын да 0.07 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$r=\frac{100}{7}\left(-0.02t+0.16\right)$$

\frac{100}{7} санын -\frac{t}{50}+0.16 санына көбейтіңіз.

$$r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2t+16}{7} мәнін r мәнімен ауыстырыңыз, 0.05r-0.03t=0.21.

$$0.05\left(-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}\right)-0.03t=0.21$$

0.05 санын \frac{-2t+16}{7} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{1}{70}t+\frac{4}{35}-0.03t=0.21$$

-\frac{t}{70} санын -\frac{3t}{100} санына қосу.

$$-\frac{31}{700}t+\frac{4}{35}=0.21$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{4}{35} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{31}{700}t=\frac{67}{700}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{31}{700} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$t=-\frac{67}{31}$$

r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7} теңдеуінде -\frac{67}{31} мәнін t мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, r мәнін тікелей таба аласыз.

$$r=-\frac{2}{7}\left(-\frac{67}{31}\right)+\frac{16}{7}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{67}{31} санын -\frac{2}{7} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$r=\frac{134}{217}+\frac{16}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{16}{7} бөлшегіне \frac{134}{217} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$r=\frac{90}{31}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.03}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&-\frac{0.02}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\\-\frac{0.05}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&\frac{0.07}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}&\frac{200}{31}\\\frac{500}{31}&-\frac{700}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}\times 0.16+\frac{200}{31}\times 0.21\\\frac{500}{31}\times 0.16-\frac{700}{31}\times 0.21\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{90}{31}\\-\frac{67}{31}\end{matrix}\right)$$

r және t матрица элементтерін шығарыңыз.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

\frac{7r}{100} және \frac{r}{20} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 0.05 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 0.07 санына көбейтіңіз.

$$0.05\times 0.07r+0.05\times 0.02t=0.05\times 0.16,0.07\times 0.05r+0.07\left(-0.03\right)t=0.07\times 0.21$$

Қысқартыңыз.

$$0.0035r+0.001t=0.008,0.0035r-0.0021t=0.0147$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 0.0035r-0.0021t=0.0147 мәнін 0.0035r+0.001t=0.008 мәнінен алып тастаңыз.

$$0.0035r-0.0035r+0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

\frac{7r}{2000} санын -\frac{7r}{2000} санына қосу. \frac{7r}{2000} және -\frac{7r}{2000} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

\frac{t}{1000} санын \frac{21t}{10000} санына қосу.

$$0.0031t=0.008-0.0147$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы 0.008 бөлшегіне -0.0147 бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$0.0031t=-0.0067$$

Теңдеудің екі жағын да 0.0031 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$t=-\frac{67}{31}$$

0.05r-0.03t=0.21 теңдеуінде -\frac{67}{31} мәнін t мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, r мәнін тікелей таба аласыз.

$$0.05r-0.03\left(-\frac{67}{31}\right)=0.21$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{67}{31} санын -0.03 санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$0.05r+\frac{201}{3100}=0.21$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{201}{3100} санын алып тастаңыз.

$$0.05r=\frac{9}{62}$$

Екі жағын да 20 мәніне көбейтіңіз.

$$r=\frac{90}{31}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$