{l}{0,6x+2y=20}{(2)-4x+y=-1} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,6 x + 2 y = 20 } \\ { ( 2 ) - 4 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{130}{43}\approx 3,023255814$$

$$y=\frac{391}{43}\approx 9,093023256$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$0,6x+2y=20;-4x+y+2=-1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$0,6x+2y=20$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$0,6x=-2y+20$$

Теңдеудің екі жағын да 0,6 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2y+20\right)$$

\frac{5}{3} санын -2y+20 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-10y+100}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -4x+y+2=-1.

$$-4\left(-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}\right)+y+2=-1$$

-4 санын \frac{-10y+100}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{40}{3}y-\frac{400}{3}+y+2=-1$$

\frac{40y}{3} санын y санына қосу.

$$\frac{43}{3}y-\frac{400}{3}+2=-1$$

-\frac{400}{3} санын 2 санына қосу.

$$\frac{43}{3}y-\frac{394}{3}=-1$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{394}{3} санын қосыңыз.

$$\frac{43}{3}y=\frac{391}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{43}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{391}{43}$$

x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3} теңдеуінде \frac{391}{43} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{10}{3}\times \frac{391}{43}+\frac{100}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{391}{43} санын -\frac{10}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{3910}{129}+\frac{100}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{100}{3} бөлшегіне -\frac{3910}{129} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{130}{43}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{130}{43};y=\frac{391}{43}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$0,6x+2y=20;-4x+y+2=-1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0,6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{0,6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{0,6-2\left(-4\right)}&\frac{0,6}{0,6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}&-\frac{10}{43}\\\frac{20}{43}&\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}\times 20-\frac{10}{43}\left(-3\right)\\\frac{20}{43}\times 20+\frac{3}{43}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{130}{43}\\\frac{391}{43}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{130}{43};y=\frac{391}{43}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$0,6x+2y=20;-4x+y+2=-1$$

\frac{3x}{5} және -4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 0,6 санына көбейтіңіз.

$$-4\times 0,6x-4\times 2y=-4\times 20;0,6\left(-4\right)x+0,6y+0,6\times 2=0,6\left(-1\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-2,4x-8y=-80;-2,4x+0,6y+1,2=-0,6$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -2,4x+0,6y+1,2=-0,6 мәнін -2,4x-8y=-80 мәнінен алып тастаңыз.

$$-2,4x+2,4x-8y-0,6y-1,2=-80+0,6$$

-\frac{12x}{5} санын \frac{12x}{5} санына қосу. -\frac{12x}{5} және \frac{12x}{5} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-8y-0,6y-1,2=-80+0,6$$

-8y санын -\frac{3y}{5} санына қосу.

$$-8,6y-1,2=-80+0,6$$

-80 санын 0,6 санына қосу.

$$-8,6y-1,2=-79,4$$

Теңдеудің екі жағына да 1,2 санын қосыңыз.

$$-8,6y=-78,2$$

Теңдеудің екі жағын да -8,6 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{391}{43}$$

-4x+y+2=-1 теңдеуінде \frac{391}{43} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-4x+\frac{391}{43}+2=-1$$

\frac{391}{43} санын 2 санына қосу.

$$-4x+\frac{477}{43}=-1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{477}{43} санын алып тастаңыз.

$$-4x=-\frac{520}{43}$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{130}{43}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{130}{43};y=\frac{391}{43}$$