{l}{-x+5y=15}{4x+10y=-2} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 5 y = 15 } \\ { 4 x + 10 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3} \approx -5.333333333$$

$$y = \frac{29}{15} = 1\frac{14}{15} \approx 1.933333333$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-x+5y=15,4x+10y=-2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-x+5y=15$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$-x=-5y+15$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$x=-\left(-5y+15\right)$$

-1 санын -5y+15 санына көбейтіңіз.

$$x=5y-15$$

Басқа теңдеуде -15+5y мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+10y=-2.

$$4\left(5y-15\right)+10y=-2$$

4 санын -15+5y санына көбейтіңіз.

$$20y-60+10y=-2$$

20y санын 10y санына қосу.

$$30y-60=-2$$

Теңдеудің екі жағына да 60 санын қосыңыз.

$$30y=58$$

Екі жағын да 30 санына бөліңіз.

$$y=\frac{29}{15}$$

x=5y-15 теңдеуінде \frac{29}{15} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=5\times \frac{29}{15}-15$$

5 санын \frac{29}{15} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{29}{3}-15$$

-15 санын \frac{29}{3} санына қосу.

$$x=-\frac{16}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{16}{3},y=\frac{29}{15}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-x+5y=15,4x+10y=-2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-10-5\times 4}&-\frac{5}{-10-5\times 4}\\-\frac{4}{-10-5\times 4}&-\frac{1}{-10-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 15+\frac{1}{6}\left(-2\right)\\\frac{2}{15}\times 15+\frac{1}{30}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{3}\\\frac{29}{15}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{16}{3},y=\frac{29}{15}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-x+5y=15,4x+10y=-2$$

-x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -1 санына көбейтіңіз.

$$4\left(-1\right)x+4\times 5y=4\times 15,-4x-10y=-\left(-2\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-4x+20y=60,-4x-10y=2$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -4x-10y=2 мәнін -4x+20y=60 мәнінен алып тастаңыз.

$$-4x+4x+20y+10y=60-2$$

-4x санын 4x санына қосу. -4x және 4x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$20y+10y=60-2$$

20y санын 10y санына қосу.

$$30y=60-2$$

60 санын -2 санына қосу.

$$30y=58$$

Екі жағын да 30 санына бөліңіз.

$$y=\frac{29}{15}$$

4x+10y=-2 теңдеуінде \frac{29}{15} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+10\times \frac{29}{15}=-2$$

10 санын \frac{29}{15} санына көбейтіңіз.

$$4x+\frac{58}{3}=-2$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{58}{3} санын алып тастаңыз.

$$4x=-\frac{64}{3}$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{16}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{16}{3},y=\frac{29}{15}$$