{l}{-x+3y=2}{2x-5y=7} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 3 y = 2 } \\ { 2 x - 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=31$$

$$y=11$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-x+3y=2,2x-5y=7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-x+3y=2$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$-x=-3y+2$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$x=-\left(-3y+2\right)$$

-1 санын -3y+2 санына көбейтіңіз.

$$x=3y-2$$

Басқа теңдеуде 3y-2 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x-5y=7.

$$2\left(3y-2\right)-5y=7$$

2 санын 3y-2 санына көбейтіңіз.

$$6y-4-5y=7$$

6y санын -5y санына қосу.

$$y-4=7$$

Теңдеудің екі жағына да 4 санын қосыңыз.

$$y=11$$

x=3y-2 теңдеуінде 11 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=3\times 11-2$$

3 санын 11 санына көбейтіңіз.

$$x=33-2$$

-2 санын 33 санына қосу.

$$x=31$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=31,y=11$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-x+3y=2,2x-5y=7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-\left(-5\right)-3\times 2}&-\frac{3}{-\left(-5\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{-\left(-5\right)-3\times 2}&-\frac{1}{-\left(-5\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 2+3\times 7\\2\times 2+7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=31,y=11$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-x+3y=2,2x-5y=7$$

-x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -1 санына көбейтіңіз.

$$2\left(-1\right)x+2\times 3y=2\times 2,-2x-\left(-5y\right)=-7$$

Қысқартыңыз.

$$-2x+6y=4,-2x+5y=-7$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -2x+5y=-7 мәнін -2x+6y=4 мәнінен алып тастаңыз.

$$-2x+2x+6y-5y=4+7$$

-2x санын 2x санына қосу. -2x және 2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$6y-5y=4+7$$

6y санын -5y санына қосу.

$$y=4+7$$

4 санын 7 санына қосу.

$$y=11$$

2x-5y=7 теңдеуінде 11 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-5\times 11=7$$

-5 санын 11 санына көбейтіңіз.

$$2x-55=7$$

Теңдеудің екі жағына да 55 санын қосыңыз.

$$2x=62$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=31$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=31,y=11$$