{l}{-8x+4y=24}{-7x+7y=28} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 24 } \\ { - 7 x + 7 y = 28 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-2$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-8x+4y=24$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$-8x=-4y+24$$

Екі жағын да -8 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+24\right)$$

-\frac{1}{8} санын -4y+24 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{2}y-3$$

Басқа теңдеуде \frac{y}{2}-3 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -7x+7y=28.

$$-7\left(\frac{1}{2}y-3\right)+7y=28$$

-7 санын \frac{y}{2}-3 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{7}{2}y+21+7y=28$$

-\frac{7y}{2} санын 7y санына қосу.

$$\frac{7}{2}y+21=28$$

Теңдеудің екі жағынан 21 санын алып тастаңыз.

$$\frac{7}{2}y=7$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{7}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=2$$

x=\frac{1}{2}y-3 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{2}\times 2-3$$

\frac{1}{2} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=1-3$$

-3 санын 1 санына қосу.

$$x=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-2,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{4}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{8}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{4}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 24+\frac{1}{7}\times 28\\-\frac{1}{4}\times 24+\frac{2}{7}\times 28\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-2,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

-8x және -7x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -7 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -8 санына көбейтіңіз.

$$-7\left(-8\right)x-7\times 4y=-7\times 24,-8\left(-7\right)x-8\times 7y=-8\times 28$$

Қысқартыңыз.

$$56x-28y=-168,56x-56y=-224$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 56x-56y=-224 мәнін 56x-28y=-168 мәнінен алып тастаңыз.

$$56x-56x-28y+56y=-168+224$$

56x санын -56x санына қосу. 56x және -56x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-28y+56y=-168+224$$

-28y санын 56y санына қосу.

$$28y=-168+224$$

-168 санын 224 санына қосу.

$$28y=56$$

Екі жағын да 28 санына бөліңіз.

$$y=2$$

-7x+7y=28 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-7x+7\times 2=28$$

7 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$-7x+14=28$$

Теңдеудің екі жағынан 14 санын алып тастаңыз.

$$-7x=14$$

Екі жағын да -7 санына бөліңіз.

$$x=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-2,y=2$$