{l}{-5x+2y=23}{-13x+3y=51} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 5 x + 2 y = 23 } \\ { - 13 x + 3 y = 51 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-3$$

$$y=4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-5x+2y=23,-13x+3y=51$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-5x+2y=23$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$-5x=-2y+23$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-2y+23\right)$$

-\frac{1}{5} санын -2y+23 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{2}{5}y-\frac{23}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{2y-23}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -13x+3y=51.

$$-13\left(\frac{2}{5}y-\frac{23}{5}\right)+3y=51$$

-13 санын \frac{2y-23}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{26}{5}y+\frac{299}{5}+3y=51$$

-\frac{26y}{5} санын 3y санына қосу.

$$-\frac{11}{5}y+\frac{299}{5}=51$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{299}{5} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{11}{5}y=-\frac{44}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{11}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=4$$

x=\frac{2}{5}y-\frac{23}{5} теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{2}{5}\times 4-\frac{23}{5}$$

\frac{2}{5} санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{8-23}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{23}{5} бөлшегіне \frac{8}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-3,y=4$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-5x+2y=23,-13x+3y=51$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-5&2\\-13&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\51\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-5&2\\-13&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\-13&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&2\\-13&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\-13&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\51\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\-13&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\51\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\-13&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\51\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-5\times 3-2\left(-13\right)}&-\frac{2}{-5\times 3-2\left(-13\right)}\\-\frac{-13}{-5\times 3-2\left(-13\right)}&-\frac{5}{-5\times 3-2\left(-13\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\51\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\\\frac{13}{11}&-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\51\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 23-\frac{2}{11}\times 51\\\frac{13}{11}\times 23-\frac{5}{11}\times 51\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-3,y=4$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-5x+2y=23,-13x+3y=51$$

-5x және -13x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -13 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -5 санына көбейтіңіз.

$$-13\left(-5\right)x-13\times 2y=-13\times 23,-5\left(-13\right)x-5\times 3y=-5\times 51$$

Қысқартыңыз.

$$65x-26y=-299,65x-15y=-255$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 65x-15y=-255 мәнін 65x-26y=-299 мәнінен алып тастаңыз.

$$65x-65x-26y+15y=-299+255$$

65x санын -65x санына қосу. 65x және -65x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-26y+15y=-299+255$$

-26y санын 15y санына қосу.

$$-11y=-299+255$$

-299 санын 255 санына қосу.

$$-11y=-44$$

Екі жағын да -11 санына бөліңіз.

$$y=4$$

-13x+3y=51 теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-13x+3\times 4=51$$

3 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$-13x+12=51$$

Теңдеудің екі жағынан 12 санын алып тастаңыз.

$$-13x=39$$

Екі жағын да -13 санына бөліңіз.

$$x=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-3,y=4$$