{l}{-4x-2y=-16}{7x-5y=11} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 4 x - 2 y = - 16 } \\ { 7 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=3$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-4x-2y=-16$$

Теңдеудің екі жағына да 2y санын қосыңыз.

$$-4x=2y-16$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{4}\left(2y-16\right)$$

-\frac{1}{4} санын -16+2y санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{2}+4 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 7x-5y=11.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+4\right)-5y=11$$

7 санын -\frac{y}{2}+4 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{7}{2}y+28-5y=11$$

-\frac{7y}{2} санын -5y санына қосу.

$$-\frac{17}{2}y+28=11$$

Теңдеудің екі жағынан 28 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{17}{2}y=-17$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{17}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=2$$

x=-\frac{1}{2}y+4 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

-\frac{1}{2} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=-1+4$$

4 санын -1 санына қосу.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{4}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{34}&\frac{1}{17}\\-\frac{7}{34}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{34}\left(-16\right)+\frac{1}{17}\times 11\\-\frac{7}{34}\left(-16\right)-\frac{2}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=3,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

-4x және 7x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -4 санына көбейтіңіз.

$$7\left(-4\right)x+7\left(-2\right)y=7\left(-16\right),-4\times 7x-4\left(-5\right)y=-4\times 11$$

Қысқартыңыз.

$$-28x-14y=-112,-28x+20y=-44$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -28x+20y=-44 мәнін -28x-14y=-112 мәнінен алып тастаңыз.

$$-28x+28x-14y-20y=-112+44$$

-28x санын 28x санына қосу. -28x және 28x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-14y-20y=-112+44$$

-14y санын -20y санына қосу.

$$-34y=-112+44$$

-112 санын 44 санына қосу.

$$-34y=-68$$

Екі жағын да -34 санына бөліңіз.

$$y=2$$

7x-5y=11 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$7x-5\times 2=11$$

-5 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$7x-10=11$$

Теңдеудің екі жағына да 10 санын қосыңыз.

$$7x=21$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=2$$