{l}{-4x+3y=13}{15x+3y=-6} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 4 x + 3 y = 13 } \\ { 15 x + 3 y = - 6 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-1$$

$$y=3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-4x+3y=13,15x+3y=-6$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-4x+3y=13$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$-4x=-3y+13$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-3y+13\right)$$

-\frac{1}{4} санын -3y+13 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{4}y-\frac{13}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{3y-13}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 15x+3y=-6.

$$15\left(\frac{3}{4}y-\frac{13}{4}\right)+3y=-6$$

15 санын \frac{3y-13}{4} санына көбейтіңіз.

$$\frac{45}{4}y-\frac{195}{4}+3y=-6$$

\frac{45y}{4} санын 3y санына қосу.

$$\frac{57}{4}y-\frac{195}{4}=-6$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{195}{4} санын қосыңыз.

$$\frac{57}{4}y=\frac{171}{4}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{57}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=3$$

x=\frac{3}{4}y-\frac{13}{4} теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{4}\times 3-\frac{13}{4}$$

\frac{3}{4} санын 3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{9-13}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{13}{4} бөлшегіне \frac{9}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-4x+3y=13,15x+3y=-6$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-4\times 3-3\times 15}&-\frac{3}{-4\times 3-3\times 15}\\-\frac{15}{-4\times 3-3\times 15}&-\frac{4}{-4\times 3-3\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{5}{19}&\frac{4}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\times 13+\frac{1}{19}\left(-6\right)\\\frac{5}{19}\times 13+\frac{4}{57}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-1,y=3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-4x+3y=13,15x+3y=-6$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 15x+3y=-6 мәнін -4x+3y=13 мәнінен алып тастаңыз.

$$-4x-15x+3y-3y=13+6$$

3y санын -3y санына қосу. 3y және -3y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-4x-15x=13+6$$

-4x санын -15x санына қосу.

$$-19x=13+6$$

13 санын 6 санына қосу.

$$-19x=19$$

Екі жағын да -19 санына бөліңіз.

$$x=-1$$

15x+3y=-6 теңдеуінде -1 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$15\left(-1\right)+3y=-6$$

15 санын -1 санына көбейтіңіз.

$$-15+3y=-6$$

Теңдеудің екі жағына да 15 санын қосыңыз.

$$3y=9$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$y=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=3$$