{l}{-2ax-by=1}{x+2y=4} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 2 a x - b y = 1 } \\ { x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2b+1\right)}{4a-b}\text{, }y=\frac{8a+1}{4a-b}\text{, }&a\neq \frac{b}{4}\\x=2\left(2-y\right)\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=-\frac{1}{2}\text{ and }a=-\frac{1}{8}\end{matrix}\right.$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$\left(-2a\right)x+\left(-b\right)y=1,x+2y=4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$\left(-2a\right)x+\left(-b\right)y=1$$

Теңдеудің екі жағына да by санын қосыңыз.

$$\left(-2a\right)x=by+1$$

Екі жағын да -2a санына бөліңіз.

$$x=\left(-\frac{1}{2a}\right)\left(by+1\right)$$

-\frac{1}{2a} санын by+1 санына көбейтіңіз.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y-\frac{1}{2a}$$

Басқа теңдеуде -\frac{by+1}{2a} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+2y=4.

$$\left(-\frac{b}{2a}\right)y-\frac{1}{2a}+2y=4$$

-\frac{by}{2a} санын 2y санына қосу.

$$\left(-\frac{b}{2a}+2\right)y-\frac{1}{2a}=4$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{1}{2a} санын қосыңыз.

$$\left(-\frac{b}{2a}+2\right)y=4+\frac{1}{2a}$$

Екі жағын да 2-\frac{b}{2a} санына бөліңіз.

$$y=\frac{8a+1}{4a-b}$$

x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y-\frac{1}{2a} теңдеуінде \frac{1+8a}{4a-b} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{8a+1}{4a-b}-\frac{1}{2a}$$

-\frac{b}{2a} санын \frac{1+8a}{4a-b} санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{b\left(8a+1\right)}{2a\left(4a-b\right)}-\frac{1}{2a}$$

-\frac{1}{2a} санын -\frac{b\left(1+8a\right)}{2a\left(4a-b\right)} санына қосу.

$$x=-\frac{2\left(2b+1\right)}{4a-b}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{2\left(2b+1\right)}{4a-b},y=\frac{8a+1}{4a-b}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$\left(-2a\right)x+\left(-b\right)y=1,x+2y=4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-2a&-b\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-2a&-b\\1&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2a&-b\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2a&-b\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2a&-b\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2a&-b\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2a&-b\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{\left(-2a\right)\times 2-\left(-b\right)}&-\frac{-b}{\left(-2a\right)\times 2-\left(-b\right)}\\-\frac{1}{\left(-2a\right)\times 2-\left(-b\right)}&-\frac{2a}{\left(-2a\right)\times 2-\left(-b\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{b-4a}&\frac{b}{b-4a}\\-\frac{1}{b-4a}&-\frac{2a}{b-4a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{b-4a}+\frac{b}{b-4a}\times 4\\-\frac{1}{b-4a}+\left(-\frac{2a}{b-4a}\right)\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2\left(2b+1\right)}{b-4a}\\-\frac{8a+1}{b-4a}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{2\left(2b+1\right)}{b-4a},y=-\frac{8a+1}{b-4a}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$\left(-2a\right)x+\left(-b\right)y=1,x+2y=4$$

-2ax және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2a санына көбейтіңіз.

$$\left(-2a\right)x+\left(-b\right)y=1,\left(-2a\right)x+\left(-2a\right)\times 2y=\left(-2a\right)\times 4$$

Қысқартыңыз.

$$\left(-2a\right)x+\left(-b\right)y=1,\left(-2a\right)x+\left(-4a\right)y=-8a$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \left(-2a\right)x+\left(-4a\right)y=-8a мәнін \left(-2a\right)x+\left(-b\right)y=1 мәнінен алып тастаңыз.

$$\left(-2a\right)x+2ax+\left(-b\right)y+4ay=1+8a$$

-2ax санын 2ax санына қосу. -2ax және 2ax мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\left(-b\right)y+4ay=1+8a$$

-by санын 4ay санына қосу.

$$\left(4a-b\right)y=1+8a$$

1 санын 8a санына қосу.

$$\left(4a-b\right)y=8a+1$$

Екі жағын да -b+4a санына бөліңіз.

$$y=\frac{8a+1}{4a-b}$$

x+2y=4 теңдеуінде \frac{1+8a}{-b+4a} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+2\times \frac{8a+1}{4a-b}=4$$

2 санын \frac{1+8a}{-b+4a} санына көбейтіңіз.

$$x+\frac{2\left(8a+1\right)}{4a-b}=4$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{2\left(1+8a\right)}{-b+4a} санын алып тастаңыз.

$$x=-\frac{2\left(2b+1\right)}{4a-b}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{2\left(2b+1\right)}{4a-b},y=\frac{8a+1}{4a-b}$$

x, y мәнін табыңыз

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2b+1\right)}{4a-b}\text{, }y=\frac{8a+1}{4a-b}\text{, }&a\neq \frac{b}{4}\\x=2\left(2-y\right)\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=-\frac{1}{2}\text{ and }a=-\frac{1}{8}\end{matrix}\right.$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$\left(-2a\right)x+\left(-b\right)y=1,x+2y=4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$\left(-2a\right)x+\left(-b\right)y=1$$

Теңдеудің екі жағына да by санын қосыңыз.

$$\left(-2a\right)x=by+1$$

Екі жағын да -2a санына бөліңіз.

$$x=\left(-\frac{1}{2a}\right)\left(by+1\right)$$

-\frac{1}{2a} санын by+1 санына көбейтіңіз.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y-\frac{1}{2a}$$

Басқа теңдеуде -\frac{by+1}{2a} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+2y=4.

$$\left(-\frac{b}{2a}\right)y-\frac{1}{2a}+2y=4$$

-\frac{by}{2a} санын 2y санына қосу.

$$\left(-\frac{b}{2a}+2\right)y-\frac{1}{2a}=4$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{1}{2a} санын қосыңыз.

$$\left(-\frac{b}{2a}+2\right)y=4+\frac{1}{2a}$$

Екі жағын да 2-\frac{b}{2a} санына бөліңіз.

$$y=\frac{8a+1}{4a-b}$$

x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y-\frac{1}{2a} теңдеуінде \frac{1+8a}{4a-b} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{8a+1}{4a-b}-\frac{1}{2a}$$

-\frac{b}{2a} санын \frac{1+8a}{4a-b} санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{b\left(8a+1\right)}{2a\left(4a-b\right)}-\frac{1}{2a}$$

-\frac{1}{2a} санын -\frac{b\left(1+8a\right)}{2a\left(4a-b\right)} санына қосу.

$$x=-\frac{2\left(2b+1\right)}{4a-b}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{2\left(2b+1\right)}{4a-b},y=\frac{8a+1}{4a-b}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$\left(-2a\right)x+\left(-b\right)y=1,x+2y=4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-2a&-b\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-2a&-b\\1&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2a&-b\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2a&-b\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2a&-b\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2a&-b\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2a&-b\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{\left(-2a\right)\times 2-\left(-b\right)}&-\frac{-b}{\left(-2a\right)\times 2-\left(-b\right)}\\-\frac{1}{\left(-2a\right)\times 2-\left(-b\right)}&-\frac{2a}{\left(-2a\right)\times 2-\left(-b\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{b-4a}&\frac{b}{b-4a}\\-\frac{1}{b-4a}&-\frac{2a}{b-4a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{b-4a}+\frac{b}{b-4a}\times 4\\-\frac{1}{b-4a}+\left(-\frac{2a}{b-4a}\right)\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2\left(2b+1\right)}{b-4a}\\-\frac{8a+1}{b-4a}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{2\left(2b+1\right)}{b-4a},y=-\frac{8a+1}{b-4a}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$\left(-2a\right)x+\left(-b\right)y=1,x+2y=4$$

-2ax және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2a санына көбейтіңіз.

$$\left(-2a\right)x+\left(-b\right)y=1,\left(-2a\right)x+\left(-2a\right)\times 2y=\left(-2a\right)\times 4$$

Қысқартыңыз.

$$\left(-2a\right)x+\left(-b\right)y=1,\left(-2a\right)x+\left(-4a\right)y=-8a$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \left(-2a\right)x+\left(-4a\right)y=-8a мәнін \left(-2a\right)x+\left(-b\right)y=1 мәнінен алып тастаңыз.

$$\left(-2a\right)x+2ax+\left(-b\right)y+4ay=1+8a$$

-2ax санын 2ax санына қосу. -2ax және 2ax мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\left(-b\right)y+4ay=1+8a$$

-by санын 4ay санына қосу.

$$\left(4a-b\right)y=1+8a$$

1 санын 8a санына қосу.

$$\left(4a-b\right)y=8a+1$$

Екі жағын да -b+4a санына бөліңіз.

$$y=\frac{8a+1}{4a-b}$$

x+2y=4 теңдеуінде \frac{1+8a}{-b+4a} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+2\times \frac{8a+1}{4a-b}=4$$

2 санын \frac{1+8a}{-b+4a} санына көбейтіңіз.

$$x+\frac{2\left(8a+1\right)}{4a-b}=4$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{2\left(1+8a\right)}{-b+4a} санын алып тастаңыз.

$$x=-\frac{2\left(2b+1\right)}{4a-b}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{2\left(2b+1\right)}{4a-b},y=\frac{8a+1}{4a-b}$$