{l}{-13y+11x=-163}{-8x+7y=94} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 13 y + 11 x = - 163 } \\ { - 8 x + 7 y = 94 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=-3$$

$$y=10$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-13y+11x=-163,7y-8x=94$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$-13y+11x=-163$$

Теңдеудің екі жағынан 11x санын алып тастаңыз.

$$-13y=-11x-163$$

Екі жағын да -13 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{1}{13}\left(-11x-163\right)$$

-\frac{1}{13} санын -11x-163 санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{11}{13}x+\frac{163}{13}$$

Басқа теңдеуде \frac{11x+163}{13} мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, 7y-8x=94.

$$7\left(\frac{11}{13}x+\frac{163}{13}\right)-8x=94$$

7 санын \frac{11x+163}{13} санына көбейтіңіз.

$$\frac{77}{13}x+\frac{1141}{13}-8x=94$$

\frac{77x}{13} санын -8x санына қосу.

$$-\frac{27}{13}x+\frac{1141}{13}=94$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{1141}{13} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{27}{13}x=\frac{81}{13}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{27}{13} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=-3$$

y=\frac{11}{13}x+\frac{163}{13} теңдеуінде -3 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=\frac{11}{13}\left(-3\right)+\frac{163}{13}$$

\frac{11}{13} санын -3 санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{-33+163}{13}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{163}{13} бөлшегіне -\frac{33}{13} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y=10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=10,x=-3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-13y+11x=-163,7y-8x=94$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-13&11\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-163\\94\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-13&11\\7&-8\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-13&11\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13&11\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-13&11\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-163\\94\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-13&11\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-163\\94\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-13&11\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-163\\94\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-13\left(-8\right)-11\times 7}&-\frac{11}{-13\left(-8\right)-11\times 7}\\-\frac{7}{-13\left(-8\right)-11\times 7}&-\frac{13}{-13\left(-8\right)-11\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-163\\94\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{27}&-\frac{11}{27}\\-\frac{7}{27}&-\frac{13}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-163\\94\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{27}\left(-163\right)-\frac{11}{27}\times 94\\-\frac{7}{27}\left(-163\right)-\frac{13}{27}\times 94\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-3\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=10,x=-3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-13y+11x=-163,7y-8x=94$$

-13y және 7y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -13 санына көбейтіңіз.

$$7\left(-13\right)y+7\times 11x=7\left(-163\right),-13\times 7y-13\left(-8\right)x=-13\times 94$$

Қысқартыңыз.

$$-91y+77x=-1141,-91y+104x=-1222$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -91y+104x=-1222 мәнін -91y+77x=-1141 мәнінен алып тастаңыз.

$$-91y+91y+77x-104x=-1141+1222$$

-91y санын 91y санына қосу. -91y және 91y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$77x-104x=-1141+1222$$

77x санын -104x санына қосу.

$$-27x=-1141+1222$$

-1141 санын 1222 санына қосу.

$$-27x=81$$

Екі жағын да -27 санына бөліңіз.

$$x=-3$$

7y-8x=94 теңдеуінде -3 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$7y-8\left(-3\right)=94$$

-8 санын -3 санына көбейтіңіз.

$$7y+24=94$$

Теңдеудің екі жағынан 24 санын алып тастаңыз.

$$7y=70$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$y=10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=10,x=-3$$